Questão 21. Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} x^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0} x^{x^{2}}.
Note que, para x>0, à medida que x\to0^+ a base x tende a 0 e o expoente x^2 tende a 0, caracterizando a forma indeterminada 0^0. Para resolver, vamos usar uma transformação via exponencial.

Passo 2

Escrevemos
x^{x^2} = e^{\ln\bigl(x^{x^2}\bigr)} = e^{x^2\,\ln(x)}.
Assim, basta calcular o limite do expoente
L = \lim_{x\to0^+} x^2\,\ln(x).

Passo 3

Para achar
L = \lim_{x\to0^+} x^2\ln(x),
reescrevemos como quociente
L = \lim_{x\to0^+} \frac{\ln(x)}{1/x^2}
e aplicamos a regra de L\’Hôpital (já que é \tfrac{-\infty}{+\infty}). Derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\tfrac1x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl[1/x^2\bigr]=-2x^{-3}.
Logo,
L = \lim_{x\to0^+} \frac{1/x}{-2x^{-3}} = \lim_{x\to0^+} -\frac{x^3}{2x} = \lim_{x\to0^+} -\frac{x^2}{2} = 0.

Passo 4

Como o expoente tende a 0, temos
\lim_{x\to0^+} x^{x^2} = \lim_{x\to0^+} e^{x^2\ln(x)} = e^{\,0} = 1.

Resposta

1

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