Questão 21. Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x} \ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty} e^{-x}\ln x.
O conteúdo é limites envolvendo exponencial e logaritmo, e vamos usar a regra de L’Hopital para tratar a forma indeterminada.

Passo 2

Reescrevemos o produto como quociente para expor a indeterminação:
\lim_{x\to\infty} e^{-x}\ln x = \lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{e^x}.
Aqui temos forma \infty/\infty, então podemos aplicar L’Hopital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador conforme L’Hopital:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}(e^x)=e^x.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\,e^x}.

Passo 4

Como x\,e^x\to\infty quando x\to\infty, o quociente \frac{1}{x\,e^x} tende a 0. Logo o limite original também vale 0.

Resposta

0

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