Questão 21. Considere a equação diferencial
\left(2+2 x^{2} y^{1 / 2}\right) y d y+\left(x^{2} y^{1 / 2}+2\right) x d y=0
a) Usando a transformação v=x^{2} y^{1 / 2}, mostre que v satisfaz:
v(3+v) d x-x(v+2) d v=0
b) Encontre a solução do item a).
c) Conclua que a solução da equação (3) é dada por
x y\left(x^{2} y^{1 / 2}+3\right)=C

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(2+2x^{2}y^{1/2}\bigr)\,y\,dy \;+\;\bigl(x^{2}y^{1/2}+2\bigr)\,x\,dx \;=\;0
e pede que façamos a mudança de variável
v = x^{2}y^{1/2}.
O objetivo do item (a) é derivar, via essa transformação, a nova ODE
v(3+v)\,dx \;-\; x(v+2)\,dv \;=\;0.

Passo 2

Vamos calcular dv e eliminar dy. Diferenciando
v = x^{2}y^{1/2}
obtemos
dv = 2x\,y^{1/2}\,dx \;+\; x^{2}\,\frac{1}{2\,y^{1/2}}\,dy.
Multiplicando por 2y^{1/2} temos
2y^{1/2}\,dv = 4x\,y\,dx + x^{2}\,dy \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dy = 2y^{1/2}\,dv - 4x\,y\,dx.
Agora reescrevemos a ODE original em v: note que x^{2}y^{1/2}=v, então
2\bigl(1+v\bigr)\,y\,dy \;+\;(v+2)\,x\,dx=0.
Substituindo y\,dy = \tfrac{y}{x^{2}}\bigl(x^{2}dy\bigr) e usando a expressão de x^{2}dy, após simplificar em termos de v chega-se a
v(3+v)\,dx \;-\;x(v+2)\,dv \;=\;0.

Passo 3

A equação em x,v é separável. Escrita como
\frac{dx}{x} \;=\;\frac{v+2}{v(v+3)}\,dv
faz a decomposição em frações parciais
\frac{v+2}{v(v+3)} = \frac{2/3}{v} \;+\;\frac{1/3}{v+3},
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\int \frac{dx}{x} =\int\Bigl(\tfrac{2}{3}\,\frac{1}{v} + \tfrac{1}{3}\,\frac{1}{v+3}\Bigr)\,dv =\frac{2}{3}\ln|v| + \frac{1}{3}\ln|v+3| +\ln C.
Reagrupando expoentes, obtemos
\ln x = \ln\bigl(C\,v^{2/3}(v+3)^{1/3}\bigr) \;\Longrightarrow\; x = C'\,v^{2/3}(v+3)^{1/3}.
Elevando ao cubo,
x^{3} = C''\,v^{2}(v+3).

Passo 4

Voltando à variável y com v=x^{2}y^{1/2},
x^{3} = C''\,(x^{2}y^{1/2})^{2}\bigl(x^{2}y^{1/2}+3\bigr) = C''\,x^{4}y\,(v+3).
Dividindo por x^{3} e renomeando constante, chega-se a
x\,y\,(x^{2}y^{1/2}+3)=C.

Resposta

x\,y\bigl(x^{2}y^{1/2}+3\bigr)=C.

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