Questão 21. Considere a equação diferencial
a) Usando a transformação
, mostre que
satisfaz:
b) Encontre a solução do item a).
c) Conclua que a solução da equação (3) é dada por
c) Conclua que a solução da equação (3) é dada por
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que façamos a mudança de variável
O objetivo do item (a) é derivar, via essa transformação, a nova ODE
Passo 2
Vamos calcular
e eliminar
. Diferenciando
obtemos
Multiplicando por
temos
Agora reescrevemos a ODE original em
: note que
, então
Substituindo
e usando a expressão de
, após simplificar em termos de
chega-se a
Passo 3
A equação em
é separável. Escrita como
faz a decomposição em frações parciais
logo
Reagrupando expoentes, obtemos
Elevando ao cubo,
Passo 4
Voltando à variável
com
,
Dividindo por
e renomeando constante, chega-se a