Questão 22. Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
(\cos y+y \cos x) d x+(\sin x-x \sin y) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(\cos y + y \cos x)\,dx + (\sin x - x \sin y)\,dy = 0
e pede que verifiquemos que ela é exata e, em seguida, a resolvamos. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas; vamos precisar checar a exatidão calculando \partial M/\partial y e \partial N/\partial x e depois encontrar a função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial total seja d\Phi = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = \cos y + y \cos x, \quad N(x,y) = \sin x - x \sin y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -\sin y + \cos x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \cos x - \sin y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter \Phi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) = \int\bigl(\cos y + y \cos x\bigr)\,dx = x\cos y + y\sin x + h(y),
onde h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Agora impomos que \partial\Phi/\partial y = N(x,y). Calculamos
\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -x\sin y + \sin x + h'(y)
e exigimos
-x\sin y + \sin x + h'(y) = \sin x - x\sin y.
Daí vem h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x\cos y + y\sin x = C,
onde C é constante de integração.

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