Questão 22. Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
\left(3 e^{3 x} y-2 x\right) d x+e^{3 x} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(3e^{3x}y - 2x\bigr)\,dx + e^{3x}\,dy = 0
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas, para as quais vamos precisar identificar as funções
M(x,y) = 3e^{3x}y - 2x
e
N(x,y) = e^{3x},
verificar a exatidão e calcular a função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x = M e \phi_y = N.

Passo 2

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3e^{3x}y - 2x\bigr) = 3e^{3x},
e
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{3x}\bigr) = 3e^{3x}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial \varphi(x,y), integramos M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(3e^{3x}y - 2x\bigr)\,dx = y\,e^{3x} - x^2 + C(y),
onde C(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Agora exigimos que \phi_y = N. Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{3x} - x^2 + C(y)\bigr) = e^{3x} + C'(y)
e impomos
e^{3x} + C'(y) = N(x,y) = e^{3x}.
Isso implica C'(y)=0, logo C(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
y\,e^{3x} - x^2 = C,
onde C é constante de integração.

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