Questão 22. Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
\left(3 e^{3 x} y-2 x\right) d x+e^{3 x} d y=0
\left(3 e^{3 x} y-2 x\right) d x+e^{3 x} d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede para verificar que ela é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Aqui o conteúdo é equações diferenciais exatas, para as quais vamos precisar identificar as funções
e
verificar a exatidão e calcular a função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais
e
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 4
Agora exigimos que
. Calculamos
e impomos
Isso implica
, logo
é constante.
Resposta
A solução implícita geral é
onde
é constante de integração.