Questão 21 -

Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, segundo o qual as órbitas estáveis para o elétron são aquelas nas quais o momento angular é um múltiplo inteiro do h cortado (constante de Planck reduzida). Admita que, no estado fundamental ( \mathrm{n}=1 ), o elétron execute um movimento circular orbital de período \mathrm{T}_{1}. Assim, quando 0 elétron estiver na órbita correspondente ao número quântico principal n , o período de seu movimento orbital será \mathrm{T}_{\mathrm{n}} satisfazendo a relação:
a) T_{n}=n^{2} T_{1}.
b) T_{n}=n T_{1}.
c) T_{n}=\frac{T_{1}}{n}.
d) T_{n}=\frac{T_{1}}{n^{3}}.
e) T_{n}=n^{3} T_{1}.

Passo 1

O enunciado fala do modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, no qual as órbitas permitidas satisfazem
L = m ev r_n = n\hbar.
No estado fundamental n=1 o elétron descreve uma órbita circular de período T_1. Queremos achar o período T_n quando o número quântico principal vale n. Vamos usar as fórmulas de raio e velocidade nas órbitas de Bohr e a definição de período orbital.

Passo 2

No modelo de Bohr sabemos que o raio da órbita de número quântico n é
r_n = n^2\,r_1
e a velocidade orbital correspondente é
v_n = \frac{v_1}{n},
onde r_1 e v_1 são, respectivamente, o raio e a velocidade no estado fundamental n=1.

Passo 3

O período orbital é o tempo que o elétron leva para percorrer toda a circunferência da órbita. Assim, para n=1 temos
T_1 = \frac{2\pi\,r_1}{v_1},
e, de modo geral,
T_n = \frac{2\pi\,r_n}{v_n}.

Passo 4

Substituindo r_n = n^2r_1 e v_n = v_1/n em T_n, obtemos
T_n = \frac{2\pi\,(n^2r_1)}{v_1/n} = 2\pi\,r_1\frac{n^2}{v_1}\,n = n^3\;\frac{2\pi\,r_1}{v_1} = n^3\,T_1.

Resposta

e) T_{n}=n^{3}T_{1}.

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