Questão 21. Considere a sequência
Verifique se
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede para verificar se a sequência
é convergente ou divergente.
Informações relevantes: temos a fórmula explícita de e sabemos que
cresce sem limite. O objetivo é estudar o comportamento de
quando
.
Informações relevantes: temos a fórmula explícita de
Passo 2
Reescrevemos
de uma forma que facilite o uso de limites clássicos. Note que
portanto
Essa forma é útil porque aparece a razão
com
, e sabemos que
quando
.
Passo 3
Apresento o limite-chave que vamos usar e o que ele significa: a igualdade
significa que, quando o ângulo
fica muito pequeno (perto de
),
se comporta muito parecido com
; a razão entre eles tende a
. Aqui
é uma variável real que tende a zero.
Passo 4
Agora vamos justificar de forma clássica e simples por que
(prova geométrica usando desigualdades e o Teorema do Sanduíche / Squeeze):
Para
em
vale, por considerações geométricas no círculo trigonométrico, a desigualdade
Dividindo tudo por
obtemos
Tomando recíprocos (as quantidades são positivas, então as desigualdades se invertem) temos
Agora, quando
sabemos que
. Pela desigualdade acima e pelo Teorema do Sanduíche, isso força
Como
é uma função par (o limite a partir da direita e da esquerda coincide), concluímos que
Passo 5
Voltamos à nossa sequência. Faça a substituição
. Como
temos
. Aplicando o limite do passo anterior:
Multiplicando por
(constante) na expressão do passo 2, obtemos
Isto mostra que a sequência converge e que o seu limite é
. (Intuição rápida: para
grande,
, então
.)
Passo 6
Resumo final do raciocínio: escrevemos
na forma
, usamos que
e que
, e concluímos que
. Mantenha essa técnica em mente: sempre que aparecer
multiplicado por algo que cresce, tente reescrever como uma constante vezes
.
Resposta
A sequência converge e
.