Questão 21. Considere a sequência
a_{n}=n \cdot \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)
Verifique se
\left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}
é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=n\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)
para n\in\mathbb{N} e pede para verificar se a sequência \{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}} é convergente ou divergente.
Informações relevantes: temos a fórmula explícita de a_{n} e sabemos que n cresce sem limite. O objetivo é estudar o comportamento de a_{n} quando n\to\infty.

Passo 2

Reescrevemos a_{n} de uma forma que facilite o uso de limites clássicos. Note que
n=\frac{\pi}{\pi/n},
portanto
a_{n}=n\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)=\pi\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{\pi}{n}}.
Essa forma é útil porque aparece a razão \dfrac{\sin x}{x} com x=\dfrac{\pi}{n}, e sabemos que \dfrac{\pi}{n}\to 0 quando n\to\infty.

Passo 3

Apresento o limite-chave que vamos usar e o que ele significa: a igualdade
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
significa que, quando o ângulo x fica muito pequeno (perto de 0), \sin x se comporta muito parecido com x; a razão entre eles tende a 1. Aqui x é uma variável real que tende a zero.

Passo 4

Agora vamos justificar de forma clássica e simples por que \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 (prova geométrica usando desigualdades e o Teorema do Sanduíche / Squeeze):
Para x em (0,\tfrac{\pi}{2}) vale, por considerações geométricas no círculo trigonométrico, a desigualdade
\sin x < x < \tan x.
Dividindo tudo por \sin x>0 obtemos
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Tomando recíprocos (as quantidades são positivas, então as desigualdades se invertem) temos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora, quando x\to 0^+ sabemos que \cos x\to 1. Pela desigualdade acima e pelo Teorema do Sanduíche, isso força
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Como \dfrac{\sin x}{x} é uma função par (o limite a partir da direita e da esquerda coincide), concluímos que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Voltamos à nossa sequência. Faça a substituição x=\dfrac{\pi}{n}. Como n\to\infty temos x=\dfrac{\pi}{n}\to 0. Aplicando o limite do passo anterior:
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{\pi}{n}}=1.
Multiplicando por \pi (constante) na expressão do passo 2, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty}\pi\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{\pi}{n}}=\pi\cdot 1=\pi.
Isto mostra que a sequência converge e que o seu limite é \pi. (Intuição rápida: para n grande, \sin(\pi/n)\approx \pi/n, então n\cdot\sin(\pi/n)\approx n\cdot(\pi/n)=\pi.)

Passo 6

Resumo final do raciocínio: escrevemos a_{n} na forma \pi\cdot\frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n}, usamos que \pi/n\to 0 e que \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, e concluímos que \lim_{n\to\infty}a_{n}=\pi. Mantenha essa técnica em mente: sempre que aparecer \sin(\text{pequeno}) multiplicado por algo que cresce, tente reescrever como uma constante vezes \dfrac{\sin x}{x}.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\pi.

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