Resolver as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+(1 / 4) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem
y'' + y' + \tfrac{1}{4}\,y = 0.
Informações dadas:
  • É uma equação linear, homogênea, com coeficientes constantes.
  • A incógnita é a função y(x).
    O que se espera: encontrar a solução geral y(x) que satisfaça a equação acima, com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Idéia para começar (explicação didática): para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}. Ou seja, suponha
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (potencialmente complexo) a determinar. Substituindo essa forma na equação, todos os termos terão fator comum e^{rx}, que nunca é zero, então sobra uma equação polinomial em r — chamada equação característica.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} em \;y''+y'+\tfrac{1}{4}y=0\; obtemos a equação característica
r^2 + r + \tfrac{1}{4} = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = 1^2 - 4\cdot 1 \cdot \tfrac{1}{4} = 1 - 1 = 0.
Como \Delta=0, a equação tem uma raiz real dupla:
r = \frac{-1}{2}.

Passo 4

Forma da solução geral para raiz dupla (explicação didática): quando a equação característica tem uma raiz dupla r, as duas soluções independentes que geram a solução geral são e^{rx} e x e^{rx}. Assim a solução geral tem a forma
y(x) = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Uma justificativa curta: a segunda solução x e^{rx} aparece porque, em caso de multiplicidade 2, precisamos de uma segunda função linearmente independente; multiplicar por x gera essa independência. (Se quiser, podemos derivar isso por redução de ordem; aqui aceitamos a forma padrão que se usa em provas.)
Aplicando nosso valor r=-\tfrac{1}{2}, a solução geral fica
y(x) = \bigl(C_1 + C_2 x\bigr) e^{-x/2}.

Passo 5

Verificação rápida (útil para prova): podemos verificar substituindo y(x)=(C_1+C_2 x)e^{-x/2} na equação. Calculando as derivadas e recolhendo termos, ambos os coeficientes multiplicadores do fator e^{-x/2} se anulam porque r=-\tfrac{1}{2} satisfaz r^2+r+\tfrac{1}{4}=0 e também 2r+1=0, garantindo que a expressão inteira seja zero. Portanto a forma encontrada realmente satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y(x)=\bigl(C_1 + C_2 x\bigr)e^{-x/2}

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