Resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem
Informações dadas:
- É uma equação linear, homogênea, com coeficientes constantes.
- A incógnita é a função
.
O que se espera: encontrar a solução geralque satisfaça a equação acima, com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Idéia para começar (explicação didática): para equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial porque derivadas de
são múltiplos de
. Ou seja, suponha
onde
é um número (potencialmente complexo) a determinar. Substituindo essa forma na equação, todos os termos terão fator comum
, que nunca é zero, então sobra uma equação polinomial em
— chamada equação característica.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, a equação tem uma raiz real dupla:
Passo 4
Forma da solução geral para raiz dupla (explicação didática): quando a equação característica tem uma raiz dupla
, as duas soluções independentes que geram a solução geral são
e
. Assim a solução geral tem a forma
onde
e
são constantes arbitrárias. Uma justificativa curta: a segunda solução
aparece porque, em caso de multiplicidade 2, precisamos de uma segunda função linearmente independente; multiplicar por
gera essa independência. (Se quiser, podemos derivar isso por redução de ordem; aqui aceitamos a forma padrão que se usa em provas.)
Aplicando nosso valor
, a solução geral fica
Passo 5
Verificação rápida (útil para prova): podemos verificar substituindo
na equação. Calculando as derivadas e recolhendo termos, ambos os coeficientes multiplicadores do fator
se anulam porque
satisfaz
e também
, garantindo que a expressão inteira seja zero. Portanto a forma encontrada realmente satisfaz a equação diferencial.