Informações relevantes que temos do enunciado: a expressão de a_{n} em termos de \sin e n; não há restrição especial sobre n além de n\to\infty. A tarefa é mostrar rigorosamente que os termos a_{n} se aproximam de zero quando n cresce sem limite.
Passo 2
Um fato essencial que vamos usar (e que vou te explicar): para todo número real x vale
-1 \le \sin(x) \le 1.
Intuição simples: a função \sin dá a coordenada vertical de um ponto no círculo unitário, então seu valor nunca passa de 1 nem fica abaixo de -1. Esse fato vale para qualquer argumento dentro da função seno, inclusive para x=n^{2}+n.
Passo 3
Usando o fato do passo anterior aplicamos-o ao numerador de a_{n}. Para todo n\ge 1 temos
-1 \le \sin\bigl(n^{2}+n\bigr) \le 1.
Dividindo essa desigualdade por n>0 (divisão por número positivo preserva desigualdade) obtemos
Agora precisamos saber o que acontece com as sequências \frac{1}{n} e -\frac{1}{n} quando n\to\infty. Vou provar que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Prova (epsilon-N, padrão): seja \varepsilon>0. Escolha um inteiro N tal que
N > \frac{1}{\varepsilon}.
Isso é sempre possível porque \frac{1}{\varepsilon} é um número real e existem inteiros maiores que qualquer real. Para todo n\ge N temos n\ge N>\frac{1}{\varepsilon}, portanto
0<\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isto mostra que \frac{1}{n} tende a 0. Como -\frac{1}{n} é apenas o negativo de \frac{1}{n}, também
\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0.
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Confronto (também chamado “teorema do sanduíche” ou “squeeze theorem”): se para toda n vale
b_{n}\le a_{n}\le c_{n}
e se \lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty} c_{n}=L, então \lim_{n\to\infty} a_{n}=L. No nosso caso tomamos
b_{n}=-\frac{1}{n},\qquad c_{n}=\frac{1}{n},
e já mostramos que ambos tendem para 0. Como em
Passo 6
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0.
Passo 7
Para ficar ainda mais direto e com um argumento totalmente do tipo epsilon-N aplicado à sequência original: seja \varepsilon>0. Escolha N tal que N>1/\varepsilon. Para n\ge N usamos a desigualdade do passo 3 para obter
Assim, por definição de limite, \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Esse argumento é equivalente ao uso do Teorema do Confronto, mas expresso no formato epsilon-N que muitas provas exigem.
Passo 8
Intuição final e incentivo: a razão é simples — o numerador \sin(n^{2}+n) oscila entre -1 e 1, então o que manda quando n cresce é o denominador n, que deixa a fração cada vez menor. Ou seja, mesmo que \sin salte para 1 ou -1, dividir por n faz esse efeito desaparecer quando n é grande. Você tá indo bem — esse tipo de raciocínio de comparar com \pm 1/n aparece muito nas provas e é rápido de aplicar.