Questão 21. Consideremos um campo vetorial
no espaço
, e fixemos um ponto
e um vetor unitário
. Denotamos por
o plano normal a
passando por
, por
o disco de centro
e raio a em
e por
a fronteira de
orientada positivamente com relação a
. A densidade de circulação de
em
no plano
é definida por
A densidade de circulação de
em
no plano
é dada pela projeção do rotacional na direção
, isto é,
Use este resultado, para calcular a densidade de circulação do campo vetorial
no pólo norte da semi-esfera
, com orientação para cima.
Passo 1
O enunciado pede a densidade de circulação de
no pólo norte da semi-esfera
, com orientação para cima. Informações relevantes que temos:
- O campo vetorial é
. - O pólo norte da esfera de raio
é o ponto . (Porque é o ponto com e que satisfaz .) - A orientação “para cima” no pólo norte corresponde ao vetor normal unitário
. - O enunciado já nos dá a fórmula que vamos usar: a densidade de circulação é a projeção do rotacional na direção
, isto é .
Passo 2
Explicando a fórmula que usaremos (aula rápida e prática). Seja
com
funções de
. O rotacional de
é definido pelas derivadas parciais como
Aqui cada derivada parcial significa: por exemplo,
é a taxa de variação de
quando
varia, mantendo
fixos. Depois de calcular
avaliamos no ponto pedido
e fazemos o produto escalar com
para obter a projeção na direção normal.
Passo 3
Identificar
a partir do campo dado. Temos
Vou explicar: o componente na direção
chamamos de
, na direção
de
e na direção
de
. Aqui não foi dado componente em
, então
.
Passo 4
Calcular cada componente do rotacional usando as fórmulas:
Primeira componente:
Primeira componente:
Como
temos
. E
não depende de
, então
. Logo
Segunda componente:
Temos
. Para
, note que
então derivando em relação a
obtemos
. Portanto
Terceira componente:
Aqui
. E
. Assim
Passo 5
Reunindo as componentes, obtemos o rotacional geral
Agora avaliamos no ponto
. Substituindo
,
Passo 6
Fazer o produto escalar com o vetor normal
. Lembre que o produto escalar de
com
é
. Assim
Esse valor é exatamente a densidade de circulação pedida.