Questão 21. Consideremos um campo vetorial \vec{F} no espaço \mathbb{R}^{3}, e fixemos um ponto \boldsymbol{p} e um vetor unitário \vec{n}. Denotamos por L=L(\boldsymbol{p}, \vec{n}) o plano normal a \vec{n} passando por \boldsymbol{p}, por D_{a} o disco de centro \boldsymbol{p} e raio a em L e por C_{a} a fronteira de D_{a} orientada positivamente com relação a \vec{n}. A densidade de circulação de \vec{F} em \boldsymbol{p} no plano L é definida por
\gamma(\vec{F}, \boldsymbol{p})=\lim _{a \rightarrow 0} \frac{1}{A\left(D_{a}\right)} \oint_{C_{a}} \vec{F} \bullet d \vec{r}
A densidade de circulação de \vec{F} em \boldsymbol{p} no plano L é dada pela projeção do rotacional na direção \vec{n}, isto é,
\gamma(\vec{F}, \boldsymbol{p})=[\nabla \times \vec{F}(\boldsymbol{p})] \bullet \vec{n}
Use este resultado, para calcular a densidade de circulação do campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}-y\right) \vec{i}+x \vec{j} no pólo norte da semi-esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4, z \geq 0, com orientação para cima.

Passo 1

O enunciado pede a densidade de circulação de \vec{F} no pólo norte da semi-esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\; z\ge 0, com orientação para cima. Informações relevantes que temos:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\big(z^{2}-y\big)\,\vec{i}+x\,\vec{j}.
  • O pólo norte da esfera de raio 2 é o ponto \boldsymbol{p}=(0,0,2). (Porque é o ponto com x=0,y=0 e z=2 que satisfaz x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.)
  • A orientação “para cima” no pólo norte corresponde ao vetor normal unitário \vec{n}=(0,0,1).
  • O enunciado já nos dá a fórmula que vamos usar: a densidade de circulação é a projeção do rotacional na direção \vec{n}, isto é \gamma(\vec{F},\boldsymbol{p}) = [\nabla\times\vec{F}(\boldsymbol{p})]\bullet\vec{n}.

Passo 2

Explicando a fórmula que usaremos (aula rápida e prática). Seja \vec{F}=(P,Q,R) com P,Q,R funções de (x,y,z). O rotacional de \vec{F} é definido pelas derivadas parciais como
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Aqui cada derivada parcial significa: por exemplo, \frac{\partial P}{\partial z} é a taxa de variação de P quando z varia, mantendo x,y fixos. Depois de calcular \nabla\times\vec{F} avaliamos no ponto pedido \boldsymbol{p} e fazemos o produto escalar com \vec{n} para obter a projeção na direção normal.

Passo 3

Identificar P,Q,R a partir do campo dado. Temos
P(x,y,z)=z^{2}-y,\qquad Q(x,y,z)=x,\qquad R(x,y,z)=0.
Vou explicar: o componente na direção \vec{i} chamamos de P, na direção \vec{j} de Q e na direção \vec{k} de R. Aqui não foi dado componente em \vec{k}, então R\equiv 0.

Passo 4

Calcular cada componente do rotacional usando as fórmulas:
Primeira componente:
(\nabla\times\vec{F})_1=\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}.
Como R=0 temos \frac{\partial R}{\partial y}=0. E Q(x,y,z)=x não depende de z, então \frac{\partial Q}{\partial z}=0. Logo
(\nabla\times\vec{F})_1=0-0=0.
Segunda componente:
(\nabla\times\vec{F})_2=\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}.
Temos \frac{\partial R}{\partial x}=0. Para \frac{\partial P}{\partial z}, note que P=z^{2}-y então derivando em relação a z obtemos 2z. Portanto
(\nabla\times\vec{F})_2=2z-0=2z.
Terceira componente:
(\nabla\times\vec{F})_3=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Aqui \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1. E \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (z^{2}-y)}{\partial y}=-1. Assim
(\nabla\times\vec{F})_3=1-(-1)=2.

Passo 5

Reunindo as componentes, obtemos o rotacional geral
\nabla\times\vec{F}=(0,\;2z,\;2).
Agora avaliamos no ponto \boldsymbol{p}=(0,0,2). Substituindo z=2,
\nabla\times\vec{F}(\boldsymbol{p})=(0,\;2\cdot 2,\;2)=(0,4,2).

Passo 6

Fazer o produto escalar com o vetor normal \vec{n}=(0,0,1). Lembre que o produto escalar de (a,b,c) com (n_x,n_y,n_z) é a n_x + b n_y + c n_z. Assim
[\nabla\times\vec{F}(\boldsymbol{p})]\bullet\vec{n} = (0,4,2)\bullet(0,0,1)=0\cdot 0 + 4\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2.
Esse valor é exatamente a densidade de circulação pedida.

Resposta

2

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