Questão 25. Suponha que S seja uma superfície e C uma curva conforme as hipóteses do Teorema de Stokes, e que f e g são funções que possuem derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
a) Mostrar que
\oint_{C}(f \nabla g+g \nabla f) \bullet d \vec{r}=0
b) Admita que a superfície S seja fronteira de uma região sólida E e que ambas satisfaçam as condições do Teorema da Divergência. Mostrar que se \nabla f e \nabla g são ortogonais, então
\iiint_{E}\left[g \nabla^{2} f+f \nabla^{2} g\right] d V=\iint_{S}[\nabla(f g)] \bullet d \vec{S}
c) Seja \vec{F} um campo de vetores que satisfaz as condições do Teoremas de Stokes e de Gauss. Use a identidade
para mostrar que se \vec{F} é incompressível em \mathbb{R}^{3}, então
\oint_{C}\left\langle\operatorname{rot} \vec{F}, \frac{d \vec{r}}{d t}\right\rangle d t=-\iiint_{E} \nabla \bullet \nabla^{2} \vec{F} d V .
d) Suponha que o campo de vetores \vec{F} \times \vec{G} satisfaz as condições do Teoremas de Stokes e de Gauss, e que este campo forma um ângulo agudo constante \theta_{0}, com uma reta normal ao plano tangente de S. Use a propriedade
\left|\iint_{S} h(x, y, z) d S\right| \leq \iint_{S}|h(x, y, z)| d S
para mostrar que se \|\vec{F} \times \vec{G}\|=M_{0}, então
\operatorname{arccos} \left(\frac{\left|\iiint_{E} \operatorname{div}(\vec{F} \times \vec{G}) d V\right|}{M_{0} A(S)}\right) \leq \theta_{0}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo:
Dados: S é uma superfície orientada e C=\partial S é sua fronteira, nas hipóteses do Teorema de Stokes. As funções f e g têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas (ou seja, f,g\in C^{2}).
Para (a): mostrar que \displaystyle \oint_{C}(f \nabla g+g \nabla f)\bullet d\vec r=0.
Para (b): além de S=\partial E (ou seja, S é fronteira de uma região sólida E) e sob as hipóteses do Teorema da Divergência (Gauss), mostrar que se \nabla f e \nabla g são ortogonais então\iiint_{E}\left[g \nabla^{2} f+f \nabla^{2} g\right] d V=\iint_{S}[\nabla(f g)]\bullet d\vec S.
Para (c): seja \vec F um campo com as hipóteses dos teoremas de Stokes e Gauss; usar a identidade \operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec F)=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec F)-\nabla^{2}\vec F para mostrar que, se \vec F é incompressível em \mathbb R^{3} (isto é, \nabla\cdot\vec F=0), então\oint_{C}\left\langle\operatorname{rot}\vec F,\frac{d\vec r}{dt}\right\rangle dt=-\iiint_{E}\nabla\cdot\nabla^{2}\vec F\,dV.
Para (d): suponha que o campo \vec F\times\vec G satisfaz as hipóteses de Stokes e Gauss, forma um ângulo agudo constante \theta_{0} com a reta normal ao plano tangente de S, e \|\vec F\times\vec G\|=M_{0} (constante). Usar a propriedade \left|\iint_{S}h\,dS\right|\le\iint_{S}|h|\,dS para mostrar\operatorname{arccos}\!\left(\frac{\left|\iiint_{E}\operatorname{div}(\vec F\times\vec G)\,dV\right|}{M_{0}A(S)}\right)\le\theta_{0}.
Passo 2
(a) Identifico o campo vetorial cuja integral de linha quero calcular: defina
\vec H:=f\nabla g+g\nabla f.
Explicação pedagógica: aqui \nabla g é o gradiente de g (vetor cujas componentes são as derivadas parciais de g), e f\nabla g é a multiplicação escalar do campo \nabla g por f. A integral \oint_{C}\vec H\cdot d\vec r é uma integral de linha fechada do campo \vec H.
Passo 3
(a) Calculo o rotacional de \vec H. Uso propriedades: \nabla\times(\varphi \vec A)=\nabla\varphi\times\vec A+\varphi(\nabla\times\vec A) (regra do produto para o rotacional) e \nabla\times(\nabla \psi)=\vec 0 (o rotacional de um gradiente é zero). Assim
\begin{aligned} \nabla\times\vec H &=\nabla\times(f\nabla g)+\nabla\times(g\nabla f)\\\ &= \nabla f\times\nabla g + f(\nabla\times\nabla g) + \nabla g\times\nabla f + g(\nabla\times\nabla f)\\\ &= \nabla f\times\nabla g + \nabla g\times\nabla f + f\vec 0 + g\vec 0. \end{aligned}
Observação: usei que \nabla\times\nabla g=\vec 0 e \nabla\times\nabla f=\vec 0.
Passo 4
(a) Simplifico \nabla f\times\nabla g + \nabla g\times\nabla f. Como o produto vetorial é antissimétrico, \nabla g\times\nabla f=-(\nabla f\times\nabla g). Logo a soma é o vetor nulo:
\nabla\times\vec H=\vec 0.
Passo 5
(a) Aplico o Teorema de Stokes: para o campo \vec H e a superfície S com \partial S=C,
\oint_{C}\vec H\cdot d\vec r=\iint_{S}(\nabla\times\vec H)\cdot d\vec S.
Como \nabla\times\vec H=\vec 0, a integral de superfície é zero, portanto
(b) Começo escrevendo a quantidade da superfície pedida: \nabla(fg) é o gradiente do produto. Pela regra do produto para gradientes,
\nabla(fg)=f\nabla g + g\nabla f.
Explicação pedagógica: essa é a versão vetorial da regra do produto: a derivada de fg em cada direção é f vezes derivada de g mais g vezes derivada de f.
Passo 7
(b) Uso o Teorema da Divergência (Gauss) para relacionar integral de superfície e integral tripla: como S=\partial E,
Ou seja, converto a integral de superfície da função vetorial \nabla(fg) em uma integral de volume do divergente desse campo.
Passo 8
(b) Calculo o divergente de \nabla(fg). Primeiro escrevo \nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f e uso a regra do produto para o divergente: \nabla\cdot(\varphi\vec A)=\nabla\varphi\cdot\vec A+\varphi(\nabla\cdot\vec A). Assim
\begin{aligned} \nabla\cdot[\nabla(fg)] &=\nabla\cdot(f\nabla g)+\nabla\cdot(g\nabla f)\\\ &= \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla\cdot(\nabla g) + \nabla g\cdot\nabla f + g\,\nabla\cdot(\nabla f)\\\ &= 2\,\nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^{2} g + g\,\nabla^{2} f. \end{aligned}
Aqui usei a definição do Laplaciano: \nabla^{2}h=\nabla\cdot(\nabla h) (uma função escalar tem Laplaciano igual à soma das segundas derivadas parciais).
Passo 9
(b) Agora uso a hipótese de ortogonalidade: se \nabla f e \nabla g são ortogonais então \nabla f\cdot\nabla g=0. Substituindo na expressão anterior, obtemos
\nabla\cdot[\nabla(fg)]= f\,\nabla^{2} g + g\,\nabla^{2} f.
Passo 10
(b) Inserindo isso na integral de volume do Passo 7:
\iint_{S}\nabla(fg)\cdot d\vec S=\iiint_{E}\big[f\,\nabla^{2} g + g\,\nabla^{2} f\big]\,dV.
(c) Primeiro interpreto a integral do lado esquerdo: \displaystyle \oint_{C}\left\langle\operatorname{rot}\vec F,\frac{d\vec r}{dt}\right\rangle dt é simplesmente a integral de linha fechada \oint_{C}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec r (porque d\vec r=(d\vec r/dt)\,dt). Ou seja,
\oint_{C}\left\langle\operatorname{rot}\vec F,\frac{d\vec r}{dt}\right\rangle dt=\oint_{C}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec r.
Passo 12
(c) Aplico o Teorema de Stokes ao campo \nabla\times\vec F:
\oint_{C}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec r=\iint_{S}\nabla\times(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S.
Essa igualdade é direta da forma do Teorema de Stokes.
Passo 13
(c) Substituo a identidade vetorial fornecida:
\nabla\times(\nabla\times\vec F)=\nabla(\nabla\cdot\vec F)-\nabla^{2}\vec F.
Se \vec F é incompressível, então \nabla\cdot\vec F=0, logo \nabla(\nabla\cdot\vec F)=\vec 0. Assim
\quad \nabla\times(\nabla\times\vec F)=-\nabla^{2}\vec F.
Passo 14
(c) Portanto a integral de superfície do Passo 12 torna-se
\oint_{C}(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec r = \iint_{S}(-\nabla^{2}\vec F)\cdot d\vec S = -\iint_{S}\nabla^{2}\vec F\cdot d\vec S.
Observação: aqui \nabla^{2}\vec F é o Laplaciano vetorial, isto é, o vetor cujas componentes são os Laplacianos das componentes de \vec F.
Passo 15
(c) Agora aplico o Teorema da Divergência à campo vetorial \nabla^{2}\vec F:
Explicação: tomamos valor absoluto da integral e comparamos com integral do valor absoluto do integrando.
Passo 18
(d) Relacione o produto escalar com o ângulo: para cada ponto de S, se o ângulo entre \vec F\times\vec G e a reta normal ao plano tangente (isto é, com \vec n) é \theta_{0} (constante e agudo), então
(d) Finalmente aplico a função \operatorname{arccos} (nota: \operatorname{arccos} é decrescente em [0,1], mas como aqui obtemos igualdade caso os sinais e constantes se mantenham, vale escrever) aos dois lados. Da desigualdade anterior segue que
(a) \displaystyle \oint_{C}(f \nabla g+g \nabla f)\bullet d \vec{r}=0
(b) \displaystyle \iiint_{E}\left[g \nabla^{2} f+f \nabla^{2} g\right] d V=\iint_{S}[\nabla(f g)] \bullet d \vec{S}
(c) \displaystyle \oint_{C}\left\langle\operatorname{rot} \vec{F}, \frac{d \vec{r}}{d t}\right\rangle d t=-\iiint_{E} \nabla \cdot \nabla^{2} \vec{F}\, d V