Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{C} \vec{F} \bullet d \vec{r} nos seguintes casos: \vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k}, e C é a fronteira da superfície dada por S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=\right.\left.1,-1 \leq z \leq \frac{1}{2}\right\}, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} onde \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=y\vec{i}+z\vec{j}+x\vec{k} e C é a fronteira da superfície
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Informações relevantes dadas:
\vec{F}(x,y,z)= (y,\,z,\,x).
S é a parte da esfera unitária com coordenada z entre -1 e 1/2. A fronteira C é o círculo de interseção da esfera com o plano z=\tfrac{1}{2}.
A orientação de C é anti-horária vista de cima (isto indica que o vetor normal à superfície deve ter componente positiva em z na borda).
Passo 2
Vamos aplicar o Teorema de Stokes. Ele diz, em palavras simples, que a integral de linha de \vec{F} ao longo da curva fechada C é igual à integral de superfície sobre S do rotacional de \vec{F} proposto ao longo do vetor normal da superfície:
Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}, \vec{n} é o versor normal escolhido compatível com a orientação de C (regra da mão direita) e dS é o elemento de área da superfície.
Passo 3
Calculo do rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3})=(y,z,x) temos
Escolha do vetor normal \vec{n} compatível com a orientação. Para a esfera unitária, o versor normal externo é simplesmente o vetor posição, ou seja
\vec{n}=(x,y,z),
porque a esfera tem raio 1 e o versor normal unitário coincide com \vec{r}. Na borda z=\tfrac{1}{2} esse normal tem componente z>0, então a orientação induzida na curva C por esse \vec{n} é anti-horária vista de cima, exatamente como o enunciado pede. Logo escolhemos \vec{n}=(x,y,z).
Passo 5
Computamos o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}:
Usamos simetrias para simplificar: a superfície S é simétrica por rotações em torno do eixo z. Por essa simetria, os integrais de x e de y sobre S anulam-se:
e o elemento de área na esfera unitária é dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Precisamos dos limites de \varphi: a condição z\le\tfrac{1}{2} é \cos\varphi\le\tfrac{1}{2}, ou seja \varphi\ge\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{\pi}{3}. Como a superfície vai até o pólo sul, \varphi vai de \tfrac{\pi}{3} até \pi. O parâmetro \theta varia de 0 a 2\pi. Assim