Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{C} \vec{F} \bullet d \vec{r} nos seguintes casos:
\vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+z \vec{j}+x \vec{k}, e C é a fronteira da superfície dada por S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=\right. \left.1,-1 \leq z \leq \frac{1}{2}\right\}, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} onde \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=y\vec{i}+z\vec{j}+x\vec{k} e C é a fronteira da superfície
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\\\ -1\le z\le\tfrac{1}{2}\},
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{F}(x,y,z)= (y,\,z,\,x).
  • S é a parte da esfera unitária com coordenada z entre -1 e 1/2. A fronteira C é o círculo de interseção da esfera com o plano z=\tfrac{1}{2}.
  • A orientação de C é anti-horária vista de cima (isto indica que o vetor normal à superfície deve ter componente positiva em z na borda).

Passo 2

Vamos aplicar o Teorema de Stokes. Ele diz, em palavras simples, que a integral de linha de \vec{F} ao longo da curva fechada C é igual à integral de superfície sobre S do rotacional de \vec{F} proposto ao longo do vetor normal da superfície:
\displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}(\nabla\times \vec{F})\cdot \vec{n}\,dS.
Aqui \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}, \vec{n} é o versor normal escolhido compatível com a orientação de C (regra da mão direita) e dS é o elemento de área da superfície.

Passo 3

Calculo do rotacional \nabla\times\vec{F}. Para \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3})=(y,z,x) temos
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\;\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\Big).
Calculando cada derivada:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial z}=1,
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial y}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1,
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial y}=1.
Portanto
\nabla\times\vec{F}=(-1,\,-1,\,-1).

Passo 4

Escolha do vetor normal \vec{n} compatível com a orientação. Para a esfera unitária, o versor normal externo é simplesmente o vetor posição, ou seja
\vec{n}=(x,y,z),
porque a esfera tem raio 1 e o versor normal unitário coincide com \vec{r}. Na borda z=\tfrac{1}{2} esse normal tem componente z>0, então a orientação induzida na curva C por esse \vec{n} é anti-horária vista de cima, exatamente como o enunciado pede. Logo escolhemos \vec{n}=(x,y,z).

Passo 5

Computamos o produto escalar (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}=(-1,-1,-1)\cdot(x,y,z)=-(x+y+z).
Assim a integral de superfície fica
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{S}-(x+y+z)\,dS.

Passo 6

Usamos simetrias para simplificar: a superfície S é simétrica por rotações em torno do eixo z. Por essa simetria, os integrais de x e de y sobre S anulam-se:
\iint_{S} x\,dS = 0,\qquad \iint_{S} y\,dS = 0.
Portanto sobra
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -\iint_{S} z\,dS.

Passo 7

Agora parametrizamos S em coordenadas esféricas (raio 1). Em esféricas com \varphi medido a partir do eixo +z temos
x=\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\cos\varphi,
e o elemento de área na esfera unitária é dS=\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta. Precisamos dos limites de \varphi: a condição z\le\tfrac{1}{2} é \cos\varphi\le\tfrac{1}{2}, ou seja \varphi\ge\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{\pi}{3}. Como a superfície vai até o pólo sul, \varphi vai de \tfrac{\pi}{3} até \pi. O parâmetro \theta varia de 0 a 2\pi. Assim
\iint_{S} z\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{\varphi=\pi/3}^{\pi} (\cos\varphi)(\sin\varphi)\,d\varphi\,d\theta.

Passo 8

Calcule a integral interna passo a passo. Primeiro a integral em \varphi:
\int_{\pi/3}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Use a substituição u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi, então a integral vira
\int_{\sin(\pi/3)}^{\sin(\pi)} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{u=\sin(\pi/3)}^{u=\sin(\pi)} = \frac{0^{2}}{2}-\frac{\sin^{2}(\pi/3)}{2}.
Como \sin(\pi/3)=\frac{\sqrt{3}}{2} obtemos
\int_{\pi/3}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = -\frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{3}{8}.
Multiplicando pela integral em \theta (que é 2\pi) obtemos
\iint_{S} z\,dS = 2\pi\cdot\left(-\frac{3}{8}\right) = -\frac{3\pi}{4}.

Passo 9

Voltando ao passo anterior, temos
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -\iint_{S} z\,dS = -\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{4}.
Então a integral de linha pedida vale \dfrac{3\pi}{4}. Força aí — você tirou a resposta usando Stokes e simetrias!

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{4}

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