Questão 3.21 Um determinado campo de velocidades incompressível é dado pela seguinte equação:
; onde
e
são constantes e
é uma componente desconhecida de velocidade.
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Determinar a forma geral do componente v da velocidade.
b) Supondo que v (o componente desconhecido) é igual a -2axy e a constante
seja nula, classifique o escoamento em relação à dimensão, influência do tempo e rotação. Justifique suas respostas.
c) Para o escoamento indicado em b), onde
2axy e
, determinar a expressão do vetor aceleração no ponto
.
Resposta: a)
; b)
vetor nulo (Escoamento irrotacional);
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Determinar a forma geral do componente v da velocidade.
b) Supondo que v (o componente desconhecido) é igual a -2axy e a constante
c) Para o escoamento indicado em b), onde
Resposta: a)
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades incompressível
onde
e
são constantes e
é uma componente desconhecida. Pede-se:
(a) determinar a forma geral de imposta pela incompressibilidade;
(b) supondo que e
, classificar o escoamento quanto à dimensão, dependência temporal e rotação (justificar);
(c) para o caso de (b), calcular o vetor aceleração no ponto .
(a) determinar a forma geral de
(b) supondo que
(c) para o caso de (b), calcular o vetor aceleração no ponto
Informações relevantes dadas:
- O escoamento é incompressível (logo vale
). -
e são constantes. - Em (b) e (c) passamos a ter
e .
Passo 2
Explicar o que significa incompressível e escrever a equação usada.
- Para um campo de velocidades a condição de incompressibilidade é
onde em coordenadas cartesianas
sendo
,
,
as componentes
de
. Aqui
,
é desconhecida e
.
Passo 3
Aplicar a condição
ao campo dado e isolar
.
Calculemos as derivadas necessárias:
Calculemos as derivadas necessárias:
(sendo
constante). Então a incompressibilidade dá
Logo
Passo 4
Integrar
em relação a
para obter a forma geral de
.
Ao integrar em ,
Ao integrar em
onde
é a “constante” de integração que pode depender das outras variáveis
,
e do tempo
. Explicação didática: ao integrar uma derivada parcial
em
, a “constante” de integração pode ser uma função arbitrária das variáveis que não foram integradas, por isso
depende de
.
Passo 5
Concluir a resposta do item (a) e comentar sobre
.
Portanto a forma geral exigida pela incompressibilidade é
Portanto a forma geral exigida pela incompressibilidade é
Comentário prático: condições de contorno ou informações adicionais sobre o escoamento (por exemplo valor de
em uma superfície) permitem determinar a função
. Sem essas condições,
permanece arbitrária.
Passo 6
Tratar o item (b): assumir
e
e classificar dimensão e dependência temporal.
- Com
e (já que ), as componentes ficam
Dimensionamento: as componentes não dependem de
e
, portanto todas as partículas se movem no plano
. Isso caracteriza um escoamento bidimensional (2D) no plano
.
Dependência temporal: as componentes
e
não dependem explicitamente do tempo
. Logo o escoamento é estacionário (steady), ou seja
.
Passo 7
Tratar o item (b): verificar rotação (cálculo do vorticidade).
- Definição: vorticidade é
. Em componentes cartesianas
Aqui
,
,
. Calculemos cada componente:
- Primeira componente:
(pois não há dependência em
).
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
. Conclusão: o escoamento é irrotacional (vorticidade nula).
Passo 8
Tratar o item (c): fórmula da aceleração e cálculo geral.
- Fórmula: o vetor aceleração material é
Como o escoamento é estacionário,
e resta a aceleração convectiva
.
- Escrevendo componentes
, , , computamos as derivadas parciais necessárias:
As componentes da aceleração convectiva são
Passo 9
Avaliar a aceleração no ponto
.
Primeiro calculemos e
no ponto:
Primeiro calculemos
Agora calculemos
e
:
No ponto
:
No ponto
temos
; com
isso dá
E
. Portanto no ponto pedido:
Resposta
(a)
\
(b) Escoamento bidimensional (2D); estacionário (steady); irrotacional, pois . \
(c)
(b) Escoamento bidimensional (2D); estacionário (steady); irrotacional, pois
(c)