Questão 3.21 Um determinado campo de velocidades incompressível é dado pela seguinte equação: V(x, y, z, t)=a\left(x^{2}-y^{2}\right) i+v j+b k; onde a e b são constantes e v é uma componente desconhecida de velocidade.
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Determinar a forma geral do componente v da velocidade.
b) Supondo que v (o componente desconhecido) é igual a -2axy e a constante b seja nula, classifique o escoamento em relação à dimensão, influência do tempo e rotação. Justifique suas respostas.
c) Para o escoamento indicado em b), onde \mathrm{v}=- 2axy e b=0, determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x, y, z)=(-1,1,0).
Resposta: a) \mathrm{v}=-2 \mathrm{axy}+\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{z}, \mathrm{t}); b) \nabla \times \mathrm{V}=0 vetor nulo (Escoamento irrotacional);

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades incompressível
\mathbf{V}(x,y,z,t)=a\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,\mathbf{i}+v(x,y,z,t)\,\mathbf{j}+b\,\mathbf{k},
onde a e b são constantes e v é uma componente desconhecida. Pede-se:
(a) determinar a forma geral de v imposta pela incompressibilidade;
(b) supondo que v=-2axy e b=0, classificar o escoamento quanto à dimensão, dependência temporal e rotação (justificar);
(c) para o caso de (b), calcular o vetor aceleração no ponto (x,y,z)=(-1,1,0).
Informações relevantes dadas:
  • O escoamento é incompressível (logo vale \nabla\cdot\mathbf{V}=0).
  • a e b são constantes.
  • Em (b) e (c) passamos a ter v=-2axy e b=0.

Passo 2

Explicar o que significa incompressível e escrever a equação usada.
  • Para um campo de velocidades a condição de incompressibilidade é
\nabla\cdot\mathbf{V}=0,
onde em coordenadas cartesianas
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z},
sendo u, v, w as componentes x,y,z de \mathbf{V}. Aqui u=a(x^{2}-y^{2}), v é desconhecida e w=b.

Passo 3

Aplicar a condição \nabla\cdot\mathbf{V}=0 ao campo dado e isolar \partial v/\partial y.
Calculemos as derivadas necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(a(x^{2}-y^{2})\bigr)=2ax, \qquad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial b}{\partial z}=0
(sendo b constante). Então a incompressibilidade dá
2ax+\frac{\partial v}{\partial y}+0=0.
Logo
\frac{\partial v}{\partial y}=-2ax.

Passo 4

Integrar \partial v/\partial y=-2ax em relação a y para obter a forma geral de v.
Ao integrar em y,
v(x,y,z,t)=\int -2ax\,dy=-2axy+F(x,z,t),
onde F(x,z,t) é a “constante” de integração que pode depender das outras variáveis x, z e do tempo t. Explicação didática: ao integrar uma derivada parcial \partial v/\partial y em y, a “constante” de integração pode ser uma função arbitrária das variáveis que não foram integradas, por isso F depende de x,z,t.

Passo 5

Concluir a resposta do item (a) e comentar sobre F.
Portanto a forma geral exigida pela incompressibilidade é
v(x,y,z,t)=-2axy+F(x,z,t).
Comentário prático: condições de contorno ou informações adicionais sobre o escoamento (por exemplo valor de v em uma superfície) permitem determinar a função F(x,z,t). Sem essas condições, F permanece arbitrária.

Passo 6

Tratar o item (b): assumir v=-2axy e b=0 e classificar dimensão e dependência temporal.
  • Com v=-2axy e w=b=0 (já que b=0), as componentes ficam
u=a(x^{2}-y^{2}),\qquad v=-2axy,\qquad w=0.
Dimensionamento: as componentes não dependem de z e w=0, portanto todas as partículas se movem no plano xy. Isso caracteriza um escoamento bidimensional (2D) no plano xy.
Dependência temporal: as componentes u e v não dependem explicitamente do tempo t. Logo o escoamento é estacionário (steady), ou seja \partial\mathbf{V}/\partial t=\mathbf{0}.

Passo 7

Tratar o item (b): verificar rotação (cálculo do vorticidade).
  • Definição: vorticidade é \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{V}. Em componentes cartesianas
\boldsymbol{\omega}=\left( \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\; \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\; \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \right).
Aqui u=a(x^{2}-y^{2}), v=-2axy, w=0. Calculemos cada componente:
  • Primeira componente:
\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=0-\frac{\partial}{\partial z}(-2axy)=0
(pois não há dependência em z).
  • Segunda componente:
\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=0-0=0.
  • Terceira componente:
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}(-2axy)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a(x^{2}-y^{2})\bigr) =-2ay-(-2ay)=0.
Portanto \boldsymbol{\omega}=\mathbf{0}. Conclusão: o escoamento é irrotacional (vorticidade nula).

Passo 8

Tratar o item (c): fórmula da aceleração e cálculo geral.
  • Fórmula: o vetor aceleração material é
\mathbf{a}=\frac{D\mathbf{V}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}+(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
Como o escoamento é estacionário, \partial\mathbf{V}/\partial t=\mathbf{0} e resta a aceleração convectiva (\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
  • Escrevendo componentes u=a(x^{2}-y^{2}), v=-2axy, w=0, computamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=2ax,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-2ay, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=-2ay,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-2ax.
As componentes da aceleração convectiva são
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}, \qquad a_z = 0.

Passo 9

Avaliar a aceleração no ponto (x,y,z)=(-1,1,0).
Primeiro calculemos u e v no ponto:
u\bigl(-1,1,0\bigr)=a\bigl((-1)^{2}-1^{2}\bigr)=a(1-1)=0,
v\bigl(-1,1,0\bigr)=-2a(-1)(1)=2a.
Agora calculemos a_x e a_y:
a_x = u(2ax)+v(-2ay) = 0 -2ay\,v.
No ponto x=-1,y=1,v=2a:
a_x = -2a(1)\cdot(2a)=-4a^{2}.
a_y = u(-2ay)+v(-2ax)=0 + v(-2ax).
No ponto x=-1 temos -2ax=-2a(-1)=2a; com v=2a isso dá
a_y = (2a)(2a)=4a^{2}.
E a_z=0. Portanto no ponto pedido:
\mathbf{a}(-1,1,0)=-4a^{2}\,\mathbf{i}+4a^{2}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Resposta

(a) v(x,y,z,t)=-2axy+F(x,z,t) \
(b) Escoamento bidimensional (2D); estacionário (steady); irrotacional, pois \nabla\times\mathbf{V}=\mathbf{0}. \
(c) \mathbf{a}(-1,1,0)=-4a^{2}\,\mathbf{i}+4a^{2}\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}

Exercícios relacionados