Questão 3.26 Um fluido em um escoamento incompressível e tridimensional possui perfil de velocidades dado por:
; v é desconhecida e
, onde
é uma constante.
a. Determine a forma do vetor velocidade.
b. Suponha que o componente v da velocidade seja dado por
e que b seja igual a zero… Indique que condições deverão ser satisfeitas para que o campo de velocidades seja solução da equação de Navier-Stokes.
c. Admitindo as condições do item ii) como satisfeitas e que
e
, determine a distribuição de pressão resultante, sabendo-se que
. Considerar
.
a. Determine a forma do vetor velocidade.
b. Suponha que o componente v da velocidade seja dado por
c. Admitindo as condições do item ii) como satisfeitas e que
Passo 1
O enunciado dá o perfil de velocidades em um escoamento incompressível tridimensional e pede três coisas:
- (a) escrever a forma do vetor velocidade sabendo que
, é desconhecida e com constante; - (b) supondo que
e , indicar que condições devem ser satisfeitas para que esse campo de velocidades seja solução da equação de Navier–Stokes; - (c) assumindo (b) satisfeito, com
e , determinar a distribuição de pressão com e forças de corpo .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
genérico (no item (b) será ). -
(no item (b) ). - Escoamento incompressível.
- Força de gravidade
. - Condição de referência da pressão:
.
Passo 2
Resposta do item (a): escrever a forma do vetor velocidade.
- Um vetor velocidade genérico em componentes cartesianas é
- Substituindo o que foi dado:
- Portanto a forma do vetor velocidade é
Observação: escrevi
como função genérica de
porque o enunciado não especificou dependência espacial/temporal.
Passo 3
Começando o item (b): verificar a condição de incompressibilidade (continuidade).
- A equação de continuidade para escoamento incompressível é
onde
.
- Com
, e (já que ), calculemos as derivadas parciais:
- Logo
Conclusão: a condição de incompressibilidade é satisfeita pelo campo dado.
Passo 4
Escrevendo a equação de Navier–Stokes (versão incompressível, supondo fluxo estacionário).
- Para fluido newtoniano incompressível e fluxo estacionário (campo independente do tempo), a equação é
onde
-
é a massa específica (densidade), -
é a viscosidade dinâmica (assume-se constante se fluido newtoniano homogêneo), -
é o termo convectivo (aceleração advectiva), -
é o laplaciano do vetor velocidade (termo de difusão viscosa), -
é a aceleração da gravidade. - Como o campo dado é independente do tempo,
e usamos a forma acima.
Passo 5
Calcular o termo viscoso
para o campo dado.
- Componentes:
- Para
: então - Para
: logo . - Para
: .
- Para
- Portanto
e o termo viscoso vale em todo o domínio. Isso significa que, para este campo, os efeitos viscosos (no termo laplaciano) são nulos — o campo comporta-se como solução de Euler se as demais condições forem atendidas.
Passo 6
Calcular o termo convectivo
com
.
- Primeiro as derivadas parciais necessárias:
- A componente
de é
Calcule passo a passo:
Somando:
- A componente
é
Calcule:
Somando:
- A componente
é zero porque . - Portanto, de forma compacta,
Passo 7
Verificar compatibilidade para existência de uma pressão escalar
.
- Com
, a equação de momento fica
ou reorganizando,
- Para existir um campo escalar
tal que seja esse lado direito, esse lado deve ser um campo gradiente. Uma condição prática (compatibilidade) é que seu rotor (curl) seja nulo. O rotor de é:
pois verificando componentes:
e as demais componentes do rotor são zero também (dependência em
nula). Assim o lado direito de
tem rotor zero (a contribuição
tem rotor zero porque é conservativa), logo existe um potencial escalar
.
- Conclusão geral do item (b): o campo satisfaz a continuidade; o termo viscoso anula-se; o termo convectivo é compatível com existência de pressão. As condições necessárias são:
- o escoamento ser estacionário (
), - fluido com
e constantes (fluido newtoniano homogêneo), - domínio simplesmente conectado (para garantir que um potencial escalar global
exista), - corpo de forças conservativo (a gravidade é conservativa).
Com essas condições o campo come pode ser solução da equação de Navier–Stokes para uma pressão apropriada.
- o escoamento ser estacionário (
Passo 8
Resolver o item (c): encontrar
usando
- Já calculamos
. Então as componentes das equações são
Passo 9
Integrar as equações parciais para obter
.
- Integre
em relação a , tratando como constantes:
- Diferenciando essa expressão em
e igualando a obtém-se
logo
- Substituindo:
- Agora a componente em
: . Integrando,
onde
é constante. Usando a condição
:
- Portanto a pressão é
Resposta
(a)
(b) O campo com
e
satisfaz a continuidade; para ser solução de Navier–Stokes é necessário assumir escoamento estacionário (
), fluido com
e
constantes (fluido newtoniano homogêneo), domínio simplesmente conectado e corpo de forças conservativo (a gravidade), caso em que existe uma pressão que satisfaz a equação de momento (o termo viscoso anula-se neste campo).
(c)