Questão 3.26 Um fluido em um escoamento incompressível e tridimensional possui perfil de velocidades dado por: u=2\left(x^{2}-y^{2}\right); v é desconhecida e w=b, onde b é uma constante.
a. Determine a forma do vetor velocidade.
b. Suponha que o componente v da velocidade seja dado por \mathrm{v}=-4 \mathrm{xy} e que b seja igual a zero… Indique que condições deverão ser satisfeitas para que o campo de velocidades seja solução da equação de Navier-Stokes.
c. Admitindo as condições do item ii) como satisfeitas e que b=0 e v=-4 x y j, determine a distribuição de pressão resultante, sabendo-se que \mathrm{p}(0,0,0)=\mathrm{po}. Considerar \mathrm{gx}=0, \mathrm{gy}=0 \mathrm{e} \mathrm{gz}=-\mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidades em um escoamento incompressível tridimensional e pede três coisas:
  • (a) escrever a forma do vetor velocidade sabendo que u=2\left(x^{2}-y^{2}\right), v é desconhecida e w=b com b constante;
  • (b) supondo que v=-4xy e b=0, indicar que condições devem ser satisfeitas para que esse campo de velocidades seja solução da equação de Navier–Stokes;
  • (c) assumindo (b) satisfeito, com b=0 e v=-4xy, determinar a distribuição de pressão com p(0,0,0)=p_{0} e forças de corpo \,g_x=0,\;g_y=0,\;g_z=-g.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • u(x,y,z)=2\left(x^{2}-y^{2}\right).
  • v genérico (no item (b) será v=-4xy).
  • w(x,y,z)=b (no item (b) b=0).
  • Escoamento incompressível.
  • Força de gravidade \mathbf{g}=(0,0,-g).
  • Condição de referência da pressão: p(0,0,0)=p_{0}.

Passo 2

Resposta do item (a): escrever a forma do vetor velocidade.
  • Um vetor velocidade genérico em componentes cartesianas é
\mathbf{u} = (u,\,v,\,w).
  • Substituindo o que foi dado:
u=2\left(x^{2}-y^{2}\right),\qquad v=v(x,y,z,t)\\ (\text{unspecificado}),\qquad w=b\\ (\text{constante}).
  • Portanto a forma do vetor velocidade é
\mathbf{u}=\bigl(2\left(x^{2}-y^{2}\right),\;v(x,y,z,t),\;b\bigr).
Observação: escrevi v como função genérica de (x,y,z,t) porque o enunciado não especificou dependência espacial/temporal.

Passo 3

Começando o item (b): verificar a condição de incompressibilidade (continuidade).
  • A equação de continuidade para escoamento incompressível é
\nabla\cdot\mathbf{u}=0,
onde \nabla\cdot\mathbf{u}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial w}{\partial z}.
  • Com u=2(x^2-y^2), v=-4xy e w=0 (já que b=0), calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-4x,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=0.
  • Logo
\nabla\cdot\mathbf{u}=4x-4x+0=0.
Conclusão: a condição de incompressibilidade é satisfeita pelo campo dado.

Passo 4

Escrevendo a equação de Navier–Stokes (versão incompressível, supondo fluxo estacionário).
  • Para fluido newtoniano incompressível e fluxo estacionário (campo independente do tempo), a equação é
\rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\mu\nabla^{2}\mathbf{u}+\rho\mathbf{g},
onde
  • \rho é a massa específica (densidade),
  • \mu é a viscosidade dinâmica (assume-se constante se fluido newtoniano homogêneo),
  • (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é o termo convectivo (aceleração advectiva),
  • \nabla^{2}\mathbf{u} é o laplaciano do vetor velocidade (termo de difusão viscosa),
  • \mathbf{g}=(0,0,-g) é a aceleração da gravidade.
  • Como o campo dado é independente do tempo, \partial\mathbf{u}/\partial t=0 e usamos a forma acima.

Passo 5

Calcular o termo viscoso \mu\nabla^{2}\mathbf{u} para o campo dado.
  • Componentes:
    • Para u=2(x^{2}-y^{2}): \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=4,\qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-4,\qquad \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}=0,então \nabla^{2}u=4-4+0=0.
    • Para v=-4xy: \frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}=0,\qquad \frac{\partial^{2}v}{\partial y^{2}}=0,\qquad \frac{\partial^{2}v}{\partial z^{2}}=0,logo \nabla^{2}v=0.
    • Para w=0: \nabla^{2}w=0.
  • Portanto \nabla^{2}\mathbf{u}=\mathbf{0} e o termo viscoso vale \mu\nabla^{2}\mathbf{u}=\mathbf{0} em todo o domínio. Isso significa que, para este campo, os efeitos viscosos (no termo laplaciano) são nulos — o campo comporta-se como solução de Euler se as demais condições forem atendidas.

Passo 6

Calcular o termo convectivo (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} com u=2(x^2-y^2),\\ v=-4xy,\\ w=0.
  • Primeiro as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-4y,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=-4y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-4x.
  • A componente x de (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é
u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =2(x^{2}-y^{2})(4x)+(-4xy)(-4y).
Calcule passo a passo:
2(x^{2}-y^{2})(4x)=8x(x^{2}-y^{2})=8x^{3}-8xy^{2},
(-4xy)(-4y)=16xy^{2}.
Somando:
8x^{3}-8xy^{2}+16xy^{2}=8x^{3}+8xy^{2}=8x(x^{2}+y^{2}).
  • A componente y é
u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} =2(x^{2}-y^{2})(-4y)+(-4xy)(-4x).
Calcule:
2(x^{2}-y^{2})(-4y)=-8y(x^{2}-y^{2})=-8x^{2}y+8y^{3},
(-4xy)(-4x)=16x^{2}y.
Somando:
-8x^{2}y+8y^{3}+16x^{2}y=8x^{2}y+8y^{3}=8y(x^{2}+y^{2}).
  • A componente z é zero porque w=0.
  • Portanto, de forma compacta,
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=8(x^{2}+y^{2})\,(x,\,y,\,0).

Passo 7

Verificar compatibilidade para existência de uma pressão escalar p.
  • Com \mu\nabla^{2}\mathbf{u}=\mathbf{0}, a equação de momento fica
\rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\nabla p+\rho\mathbf{g},
ou reorganizando,
\nabla p=-\rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}+\rho\mathbf{g}.
  • Para existir um campo escalar p tal que \nabla p seja esse lado direito, esse lado deve ser um campo gradiente. Uma condição prática (compatibilidade) é que seu rotor (curl) seja nulo. O rotor de (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é:
\nabla\times\bigl(8(x^{2}+y^{2})(x,y,0)\bigr)=\mathbf{0},
pois verificando componentes:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(8y(x^{2}+y^{2})\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(8x(x^{2}+y^{2})\bigr)=16xy-16xy=0,
e as demais componentes do rotor são zero também (dependência em z nula). Assim o lado direito de \nabla p tem rotor zero (a contribuição \rho\mathbf{g} tem rotor zero porque é conservativa), logo existe um potencial escalar p.
  • Conclusão geral do item (b): o campo satisfaz a continuidade; o termo viscoso anula-se; o termo convectivo é compatível com existência de pressão. As condições necessárias são:
    • o escoamento ser estacionário ( \partial\mathbf{u}/\partial t=0),
    • fluido com \rho e \mu constantes (fluido newtoniano homogêneo),
    • domínio simplesmente conectado (para garantir que um potencial escalar global p exista),
    • corpo de forças conservativo (a gravidade é conservativa).
      Com essas condições o campo com v=-4xy e b=0 pode ser solução da equação de Navier–Stokes para uma pressão apropriada.

Passo 8

Resolver o item (c): encontrar p(x,y,z) usando
\nabla p=-\rho(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}+\rho\mathbf{g}.
  • Já calculamos (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=8(x^{2}+y^{2})(x,y,0). Então as componentes das equações são
\frac{\partial p}{\partial x}=-8\rho\,x(x^{2}+y^{2}),
\frac{\partial p}{\partial y}=-8\rho\,y(x^{2}+y^{2}),
\frac{\partial p}{\partial z}=-\rho g.

Passo 9

Integrar as equações parciais para obter p.
  • Integre \dfrac{\partial p}{\partial x}=-8\rho x(x^{2}+y^{2}) em relação a x, tratando y,z como constantes:
p(x,y,z)=\int -8\rho \bigl(x^{3}+x y^{2}\bigr)\,dx + A(y,z) = -2\rho x^{4}-4\rho x^{2}y^{2}+A(y,z).
  • Diferenciando essa expressão em y e igualando a \dfrac{\partial p}{\partial y}=-8\rho y(x^{2}+y^{2}) obtém-se
\frac{\partial A}{\partial y}=-8\rho y^{3},
logo
A(y,z)=-2\rho y^{4}+B(z).
  • Substituindo:
p(x,y,z)=-2\rho\bigl(x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}\bigr)+B(z) =-2\rho(x^{2}+y^{2})^{2}+B(z).
  • Agora a componente em z: \dfrac{\partial p}{\partial z}=\dfrac{dB}{dz}=-\rho g. Integrando,
B(z)=-\rho g z + C,
onde C é constante. Usando a condição p(0,0,0)=p_{0}:
p(0,0,0)=-2\rho(0) -\rho g\cdot 0 + C = C = p_{0}.
  • Portanto a pressão é
p(x,y,z)=p_{0}-2\rho\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}-\rho g z.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{u}=\bigl(2\left(x^{2}-y^{2}\right),\;v(x,y,z,t),\;b\bigr).
(b) O campo com v=-4xy e b=0 satisfaz a continuidade; para ser solução de Navier–Stokes é necessário assumir escoamento estacionário ( \partial\mathbf{u}/\partial t=0), fluido com \rho e \mu constantes (fluido newtoniano homogêneo), domínio simplesmente conectado e corpo de forças conservativo (a gravidade), caso em que existe uma pressão que satisfaz a equação de momento (o termo viscoso anula-se neste campo).
(c) \displaystyle p(x,y,z)=p_{0}-2\rho\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}-\rho g z.

Exercícios relacionados