Questão 3.22 A equação geral de um campo de velocidade é dada abaixo.
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
i. Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto
.
ii. Encontre a equação do vetor vorticidade e determine, se possível, as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
iii. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.
i. Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto
ii. Encontre a equação do vetor vorticidade e determine, se possível, as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
iii. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidade bidimensional
com
Temos constantes
.\n
O que é pedido:
i. Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto .\n
ii. Encontrar a equação do vetor vorticidade (campo de vorticidade) e as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.\n
iii. Encontrar todas as coordenadas do tensor taxa de deformação (tensor de deformação/deform-rate) para este escoamento.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que é pedido:
i. Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto
ii. Encontrar a equação do vetor vorticidade (campo de vorticidade) e as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.\n
iii. Encontrar todas as coordenadas do tensor taxa de deformação (tensor de deformação/deform-rate) para este escoamento.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Componentes
e dadas acima (dependem linearmente de ). - Ponto onde avaliar a aceleração:
. - Parâmetros desconhecidos:
(iremos manter simbólicos).
Passo 2
Entender e escrever a aceleração material para um campo de velocidade estacionário em espaço cartesiano 2D.\n
Explicação didática (mini-aula): a aceleração de uma partícula fluida é a derivada material da velocidade, que captura a variação da velocidade ao longo da trajetória. Para um campo estacionário (sem dependência explícita do tempo) e em coordenadas cartesianas:
Explicação didática (mini-aula): a aceleração de uma partícula fluida é a derivada material da velocidade, que captura a variação da velocidade ao longo da trajetória. Para um campo estacionário (sem dependência explícita do tempo) e em coordenadas cartesianas:
Em componentes:
Aqui
e
são as componentes do campo no ponto considerado;
etc. são derivadas parciais do campo. Essa fórmula vem simplesmente da regra da cadeia aplicada a
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo).\n
Das expressões dadas:
Das expressões dadas:
Essas derivadas são constantes (campo linear).
Passo 4
Avaliar
e
no ponto
e montar a aceleração (substituições explícitas).\n
Calcule e
:
Calcule
Para abreviar, defina
Então
Passo 5
Calcular as componentes da aceleração no ponto usando as fórmulas do Passo 2 e os valores do Passo 4.\n
Usando e
, com as derivadas do Passo 3:
Usando
Essas expressões já são respostas válidas e compactas para as componentes da aceleração no ponto. Se quiser expandir em termos de
, faz-se:
(Se quiser, dá para verificar que a expansão resulta da multiplicação e coleta de termos das expressões compactas.)
Passo 6
Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração (explicando como proceder na prova).\n
Módulo: o modo direto é
Módulo: o modo direto é
Direção: a direção pode ser dada pelo versor (vetor unitário) na direção de
:
ou pelo ângulo
que
faz com o eixo
:
lembrando de considerar o quadrante correto conforme os sinais de
e
.\n
Observação prática: como e
estão em termos de
, o módulo e a direção só ficam num valor numérico se esses parâmetros forem conhecidos; caso contrário deixamos em forma simbólica como acima.
Observação prática: como
Passo 7
Encontrar a vorticidade: definição, cálculo e condição de irrotacional e incompressível.\n
Mini-aula: em 2D a vorticidade é um vetor perpendicular ao plano, com componente dada por
Mini-aula: em 2D a vorticidade é um vetor perpendicular ao plano, com componente
Substituindo as derivadas parciais calculadas no Passo 3:
Portanto o campo de vorticidade é uniforme:
Irrotacionalidade significa vorticidade zero:
Passo 8
Condição de incompressibilidade e combinação com irrotacionalidade (resolver o sistema).\n
A divergência do campo é
A divergência do campo é
Incompressível requer
Para que o escoamento seja irrotacional e incompressível simultaneamente, ambas as equações devem valer:
Resolver esse sistema (passo a passo): da segunda equação obtemos
. Outro modo: dada qualquer escolha de
,
e
devem ser os valores acima.]
Passo 9
Determinar o tensor taxa de deformação (explicação do que é e como calcular).\n
Mini-aula: o tensor taxa de deformação (ou tensor de taxa de deformação simétrico) em 2D é a parte simétrica do gradiente de velocidade:
Mini-aula: o tensor taxa de deformação (ou tensor de taxa de deformação simétrico) em 2D é a parte simétrica do gradiente de velocidade:
onde
,
. Em componentes cartesianas:
Passo 10
Calcular explicitamente todos os componentes do tensor taxa de deformação usando as derivadas do Passo 3.\n
Substituindo:
Substituindo:
Observações úteis: todos os componentes são constantes (não dependem de
) porque o campo é linear. O traço do tensor é
, como deve acontecer.
Resposta
i)
com
O módulo é
e a direção pode ser dada por
ou pelo ângulo
(atenção ao quadrante).
ii)
com
Irrotacionalidade:
. Incompressibilidade:
. Ambas simultâneas ocorrem se, por exemplo,
ou, equivalentemente, esses dois relacionamentos lineares entre
são satisfeitos.
iii) Componentes do tensor taxa de deformação: