Questão 3.22 A equação geral de um campo de velocidade é dada abaixo.
V(x, y)=\left[\left(a_{1}+a_{2}\right) x+\left(1-b_{1}\right) y\right] i+\left[\left(a_{2}-a_{1}\right) x+2 b_{1} y\right] j
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
i. Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto (x, y)=(2,-1).
ii. Encontre a equação do vetor vorticidade e determine, se possível, as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
iii. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade bidimensional
V(x,y)=u(x,y)\,i+v(x,y)\,j
com
u(x,y)=\left(a_{1}+a_{2}\right)x+\left(1-b_{1}\right)y, \qquad v(x,y)=\left(a_{2}-a_{1}\right)x+2b_{1}y.
Temos constantes \,a_{1},a_{2},b_{1}.\n
O que é pedido:
i. Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração no ponto (x,y)=(2,-1).\n
ii. Encontrar a equação do vetor vorticidade (campo de vorticidade) e as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.\n
iii. Encontrar todas as coordenadas do tensor taxa de deformação (tensor de deformação/deform-rate) para este escoamento.\n
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componentes u e v dadas acima (dependem linearmente de x,y).
  • Ponto onde avaliar a aceleração: (2,-1).
  • Parâmetros desconhecidos: a_{1},a_{2},b_{1} (iremos manter simbólicos).

Passo 2

Entender e escrever a aceleração material para um campo de velocidade estacionário em espaço cartesiano 2D.\n
Explicação didática (mini-aula): a aceleração de uma partícula fluida é a derivada material da velocidade, que captura a variação da velocidade ao longo da trajetória. Para um campo estacionário (sem dependência explícita do tempo) e em coordenadas cartesianas:
\mathbf{a} = \frac{D\mathbf{V}}{Dt} = u\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial x}+v\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial y}.
Em componentes:
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}, \qquad a_y = u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui \,u e \,v são as componentes do campo no ponto considerado; \partial u/\partial x etc. são derivadas parciais do campo. Essa fórmula vem simplesmente da regra da cadeia aplicada a \mathbf{V}(x(t),y(t)).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (mostrando passo a passo).\n
Das expressões dadas:
\frac{\partial u}{\partial x}=a_{1}+a_{2},\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=1-b_{1},
\frac{\partial v}{\partial x}=a_{2}-a_{1},\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2b_{1}.
Essas derivadas são constantes (campo linear).

Passo 4

Avaliar u e v no ponto (2,-1) e montar a aceleração (substituições explícitas).\n
Calcule u(2,-1) e v(2,-1):
u(2,-1)=2(a_{1}+a_{2})+(1-b_{1})(-1)=2(a_{1}+a_{2})-1+b_{1},
v(2,-1)=2(a_{2}-a_{1})+2b_{1}(-1)=2(a_{2}-a_{1})-2b_{1}=2\bigl(a_{2}-a_{1}-b_{1}\bigr).
Para abreviar, defina
S:=a_{1}+a_{2},\qquad D:=a_{2}-a_{1}.
Então
u(2,-1)=2S-1+b_{1},\qquad v(2,-1)=2(D-b_{1}).

Passo 5

Calcular as componentes da aceleração no ponto usando as fórmulas do Passo 2 e os valores do Passo 4.\n
Usando a_x = u\partial_x u + v\partial_y u e a_y = u\partial_x v + v\partial_y v, com as derivadas do Passo 3:
a_x(2,-1) = \bigl(2S-1+b_{1}\bigr)\,S + 2(D-b_{1})\,(1-b_{1}),
a_y(2,-1) = \bigl(2S-1+b_{1}\bigr)\,D + 2(D-b_{1})\,(2b_{1}).
Essas expressões já são respostas válidas e compactas para as componentes da aceleração no ponto. Se quiser expandir em termos de a_{1},a_{2},b_{1}, faz-se:
a_x(2,-1)=2a_{1}^{2}+4a_{1}a_{2}+2a_{2}^{2}+3a_{1}(b_{1}-1)+a_{2}(1-b_{1})+2b_{1}^{2}-2b_{1},
a_y(2,-1)=-2a_{1}^{2}+2a_{2}^{2}+a_{1}(1-5b_{1})+a_{2}(5b_{1}-1)-4b_{1}^{2}.
(Se quiser, dá para verificar que a expansão resulta da multiplicação e coleta de termos das expressões compactas.)

Passo 6

Determinar o módulo e a direção do vetor aceleração (explicando como proceder na prova).\n
Módulo: o modo direto é
\lvert \mathbf{a}(2,-1)\rvert=\sqrt{a_x(2,-1)^{2}+a_y(2,-1)^{2}}.
Direção: a direção pode ser dada pelo versor (vetor unitário) na direção de \mathbf{a}:
\hat{\mathbf{a}}=\frac{1}{\lvert\mathbf{a}\rvert}\bigl(a_x(2,-1)\,i+a_y(2,-1)\,j\bigr),
ou pelo ângulo \theta que \mathbf{a} faz com o eixo x:
\theta=\arctan\!\left(\frac{a_y(2,-1)}{a_x(2,-1)}\right),
lembrando de considerar o quadrante correto conforme os sinais de a_x e a_y.\n
Observação prática: como a_x e a_y estão em termos de a_{1},a_{2},b_{1}, o módulo e a direção só ficam num valor numérico se esses parâmetros forem conhecidos; caso contrário deixamos em forma simbólica como acima.

Passo 7

Encontrar a vorticidade: definição, cálculo e condição de irrotacional e incompressível.\n
Mini-aula: em 2D a vorticidade é um vetor perpendicular ao plano, com componente z dada por
\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo as derivadas parciais calculadas no Passo 3:
\omega_z=(a_{2}-a_{1})-(1-b_{1})=a_{2}-a_{1}+b_{1}-1.
Portanto o campo de vorticidade é uniforme:
\boldsymbol{\omega}=(0,0,\;a_{2}-a_{1}+b_{1}-1).
Irrotacionalidade significa vorticidade zero:
\text{irrotacional} \iff a_{2}-a_{1}+b_{1}-1=0.

Passo 8

Condição de incompressibilidade e combinação com irrotacionalidade (resolver o sistema).\n
A divergência do campo é
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=(a_{1}+a_{2})+2b_{1}=a_{1}+a_{2}+2b_{1}.
Incompressível requer \nabla\cdot\mathbf{V}=0\), logo \[\text{incompressível} \iff a_{1}+a_{2}+2b_{1}=0.
Para que o escoamento seja irrotacional e incompressível simultaneamente, ambas as equações devem valer:
\begin{cases} a_{2}-a_{1}+b_{1}-1=0,\\[4pt] a_{1}+a_{2}+2b_{1}=0. \end{cases}
Resolver esse sistema (passo a passo): da segunda equação obtemos a_{1}=-a_{2}-2b_{1}\]. Substituindo na primeira: \[a_{2}-(-a_{2}-2b_{1})+b_{1}-1=0 \quad\Rightarrow\quad 2a_{2}+3b_{1}-1=0.\] Logo \[a_{2}=\frac{1-3b_{1}}{2},\qquad a_{1}=-\frac{1+b_{1}}{2}.\] Portanto as condições necessárias e suficientes (relações entre parâmetros) para ser ao mesmo tempo irrotacional e incompressível são essas relações entre \(a_{1},a_{2},b_{1}. Outro modo: dada qualquer escolha de b_{1}, a_{1} e a_{2} devem ser os valores acima.]

Passo 9

Determinar o tensor taxa de deformação (explicação do que é e como calcular).\n
Mini-aula: o tensor taxa de deformação (ou tensor de taxa de deformação simétrico) em 2D é a parte simétrica do gradiente de velocidade:
D_{ij}=\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\Bigr),
onde u_1=u, u_2=v. Em componentes cartesianas:
D_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad D_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad D_{xy}=D_{yx}=\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr).

Passo 10

Calcular explicitamente todos os componentes do tensor taxa de deformação usando as derivadas do Passo 3.\n
Substituindo:
D_{xx}=a_{1}+a_{2}, \qquad D_{yy}=2b_{1},
D_{xy}=D_{yx}=\tfrac{1}{2}\bigl((1-b_{1})+(a_{2}-a_{1})\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(a_{2}-a_{1}+1-b_{1}\bigr).
Observações úteis: todos os componentes são constantes (não dependem de x,y) porque o campo é linear. O traço do tensor é \operatorname{tr}D=(a_{1}+a_{2})+2b_{1}=\nabla\cdot\mathbf{V}, como deve acontecer.

Resposta

i) \mathbf{a}(2,-1)=\bigl(a_x(2,-1)\bigr)\,i+\bigl(a_y(2,-1)\bigr)\,j com
a_x(2,-1)=\bigl(2(a_{1}+a_{2})-1+b_{1}\bigr)(a_{1}+a_{2})+2\bigl(a_{2}-a_{1}-b_{1}\bigr)(1-b_{1}),
a_y(2,-1)=\bigl(2(a_{1}+a_{2})-1+b_{1}\bigr)(a_{2}-a_{1})+4b_{1}\bigl(a_{2}-a_{1}-b_{1}\bigr).
O módulo é \lvert\mathbf{a}(2,-1)\rvert=\sqrt{a_x(2,-1)^{2}+a_y(2,-1)^{2}} e a direção pode ser dada por \hat{\mathbf{a}}=\dfrac{1}{\lvert\mathbf{a}\rvert}\bigl(a_x(2,-1)\,i+a_y(2,-1)\,j\bigr) ou pelo ângulo \theta=\arctan\!\bigl(\dfrac{a_y(2,-1)}{a_x(2,-1)}\bigr) (atenção ao quadrante).
ii) \boldsymbol{\omega}=(0,0,\omega_z) com
\omega_z=a_{2}-a_{1}+b_{1}-1.
Irrotacionalidade: a_{2}-a_{1}+b_{1}-1=0. Incompressibilidade: a_{1}+a_{2}+2b_{1}=0. Ambas simultâneas ocorrem se, por exemplo,
a_{2}=\frac{1-3b_{1}}{2},\qquad a_{1}=-\frac{1+b_{1}}{2},
ou, equivalentemente, esses dois relacionamentos lineares entre a_{1},a_{2},b_{1} são satisfeitos.
iii) Componentes do tensor taxa de deformação:
D_{xx}=a_{1}+a_{2},\qquad D_{yy}=2b_{1},
D_{xy}=D_{yx}=\tfrac{1}{2}\bigl(a_{2}-a_{1}+1-b_{1}\bigr).

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