Questão 21.
Um fio homogêneo de comprimento 1,00 \mathrm{~m} e massa 100 g permanece esticado sob tração de 160 N . Dois pulsos estreitos são produzidos nas extremidades opostas do fio, sendo que um deles é emitido \Delta t segundos depois do outro. Sabendo que o primeiro encontro entre os pulsos ocorre a 0,300 \mathrm{~m} de uma das extremidades, determine o valor de \Delta t, em milissegundos.
A 1,00
B 4,00
C 10,0
D 100
E 160

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (pegar esses valores do enunciado):
  • Comprimento do fio: L=1,00\\ \mathrm{m}.
  • Massa do fio: m=0,100\\ \mathrm{kg} (100 g).
  • Tração no fio (tensão): T=160\\ \mathrm{N}.
  • Dois pulsos são gerados em extremidades opostas; um é emitido \Delta t segundos depois do outro.
  • O primeiro encontro entre os pulsos ocorre a 0,300\\ \mathrm{m} de uma das extremidades (ou seja, a 0{,}300\\ \mathrm{m} de uma extremidade; pode ser da esquerda ou da direita).
    O que se pede:
  • Determinar \Delta t e expressá‑lo em milissegundos.

Passo 2

Conceito que vamos usar primeiro (velocidade de onda numa corda tensa):
  • Para ondas transversais numa corda homogênea sob tensão, a velocidade é
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde \mu é a densidade linear de massa da corda (massa por comprimento). Aqui \mu=\dfrac{m}{L}. Explicando: quanto maior a tensão, mais rápido a onda; quanto mais pesada a corda por metro, mais lenta a onda.
Calcule \mu:
\mu=\dfrac{m}{L}=\dfrac{0{,}100}{1{,}00}=0{,}100\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 3

Calcule a velocidade v:
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{160}{0{,}100}}=\sqrt{1600}=40\\ \mathrm{m/s}.
(Isto significa que cada pulso corre ao longo do fio a 40\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 4

Escolha de sistema de referência e equações do movimento dos pulsos:
  • Coloco a extremidade esquerda em x=0 e a direita em x=L=1{,}00.
  • Suponha que o pulso A parte da esquerda em t=0 e se move para a direita com velocidade v. Sua posição a qualquer tempo é
x_A(t)=v\,t.
  • O pulso B sai da direita em t=\Delta t e se move para a esquerda com velocidade v. Para t\ge\Delta t, sua posição é
x_B(t)=L - v\,(t-\Delta t)=1{,}00 - v\,(t-\Delta t).
Eles se encontram quando x_A(t)=x_B(t).

Passo 5

Resolver a condição de encontro x_A(t)=x_B(t). Igualando:
v t = 1{,}00 - v(t-\Delta t).
Desenvolvendo:
v t = 1{,}00 - v t + v\Delta t
2v t = 1{,}00 + v\Delta t
t_{\text{encontro}} = \dfrac{1{,}00}{2v} + \dfrac{\Delta t}{2}.
A posição de encontro (medida a partir da esquerda) é x=v\,t_{\text{encontro}}, logo
x = v\left(\dfrac{1{,}00}{2v} + \dfrac{\Delta t}{2}\right)=\dfrac{1{,}00}{2} + \dfrac{v\,\Delta t}{2}.
Interpretação física rápida: se \Delta t=0 (simultâneos) então x=0{,}50\\ \mathrm{m} (meio). Se \Delta t>0 (pulso da direita sai depois), o encontro desloca‑se para a direita ( x>0{,}50), e se \Delta t<0 o encontro fica à esquerda ( x<0{,}50).

Passo 6

Usar o dado do enunciado: o primeiro encontro ocorre a 0{,}300\\ \mathrm{m} de uma das extremidades. Isso pode significar duas possibilidades para a posição medida a partir da esquerda:
  • Caso 1: o encontro está a 0{,}300\\ \mathrm{m} da extremidade esquerda, isto é x=0{,}300.
  • Caso 2: o encontro está a 0{,}300\\ \mathrm{m} da extremidade direita, isto é x=1{,}00-0{,}300=0{,}700.
    Vamos testar as duas opções na fórmula
x=\dfrac{1{,}00}{2} + \dfrac{v\,\Delta t}{2}
para encontrar \Delta t.

Passo 7

Testando x=0{,}300:
0{,}300=\dfrac{1{,}00}{2} + \dfrac{v\,\Delta t}{2} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{v\,\Delta t}{2}=0{,}300-0{,}500=-0{,}200.
Logo
\Delta t=\dfrac{2(-0{,}200)}{v}=\dfrac{-0{,}400}{40}=-0{,}010\\ \mathrm{s}.
Isto dá -0{,}010\\ \mathrm{s}, ou seja -10{,}0\\ \mathrm{ms}. Um \Delta t negativo significa que a hipótese de que o pulso da esquerda foi o primeiro (o que assumimos ao definir A em t=0) está errada: na verdade nesse caso o pulso da direita deveria ter sido o primeiro. Como o enunciado pede o valor positivo de \Delta t (o atraso entre os eventos), descartamos essa interpretação da posição (ou, dito de outro modo, essa solução com sinal negativo apenas indica que trocamos quem saiu primeiro).

Passo 8

Testando x=0{,}700:
0{,}700=\dfrac{1{,}00}{2} + \dfrac{v\,\Delta t}{2}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{v\,\Delta t}{2}=0{,}700-0{,}500=0{,}200.
Logo
\Delta t=\dfrac{2(0{,}200)}{v}=\dfrac{0{,}400}{40}=0{,}010\\ \mathrm{s}.
Converter para milissegundos: 0{,}010\\ \mathrm{s}=10{,}0\\ \mathrm{ms}.

Passo 9

Interpretação final (rápida e motivadora): o valor positivo \Delta t=0{,}010\\ \mathrm{s} corresponde ao caso em que o encontro está a 0{,}300\\ \mathrm{m} da extremidade direita (ou seja, a 0{,}700\\ \mathrm{m} da esquerda), o que significa que o pulso que saiu primeiro veio da esquerda e o outro foi emitido \Delta t depois; tudo consistente com os sinais e com a física da velocidade v que calculamos. Boa — chegamos lá!

Resposta

10,0\\ \mathrm{ms}

Exercícios relacionados