Questão 21. Mostre que se
é um grupo simples abeliano então
é um grupo cíclico de ordem prima.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
é um grupo e (ou seja, não é o grupo trivial). -
é abeliano (ou seja, para todos vale ). -
é simples (ou seja, os únicos subgrupos normais de são e ).
O que o problema pede:
- Mostrar que
é um grupo cíclico de ordem prima. Em outras palavras, provar que existe um primo tal que é gerado por um elemento e .
Passo 2
Escolher um elemento não trivial e formar o subgrupo que ele gera.
Como
, existe
com
. Definimos o subgrupo cíclico gerado por
como
Explicando bem:
é o menor subgrupo de
que contém
; contém a identidade
,
,
,
, etc.
Agora, porque
é abeliano, todo subgrupo de
é normal. Lembrando a definição: um subgrupo
é normal se
para todo
, e em grupos abelianos isso sempre acontece porque
. Então
é um subgrupo normal de
.
Como
é simples, as únicas possibilidades para um subgrupo normal são
ou
. Mas
não é
, porque contém
. Portanto necessariamente
Isto mostra que
é cíclico: existe
tal que
.
Passo 3
Descartar a possibilidade de
ser cíclico infinito.
Se
fosse infinito (isto é,
de ordem infinita), então para qualquer inteiro
o elemento
geraria um subgrupo próprio não trivial
. Vou explicar por que esse subgrupo é próprio e não trivial:
- Não é trivial:
quando tem ordem infinita. - Não é todo
: se estivesse em então existir-se-ia tal que , o que implicaria . Isso contradiz a ordem infinita de . Logo , então é estritamente menor que .
Mas
seria um subgrupo normal (pois
é abeliano), portanto um subgrupo normal próprio e não trivial — contradiz a simplicidade de
. Logo a hipótese de ordem infinita é impossível. Concluímos que
é finito.
Passo 4
Mostrar que a ordem finita de
é um primo.
Se
é ciclico finito, seja
. Então
com
. Há um resultado padrão sobre grupos cíclicos que precisamos usar: para
, a ordem do elemento
é
Explicação curta desse fato:
se e somente se
. O menor
com essa propriedade é
.
Usando isso, se
é um divisor de
então o elemento
tem ordem
, e assim
é um subgrupo de ordem
. Em particular, se
fosse composto (isto é, existisse um divisor
com
), então existiría um subgrupo próprio e não trivial
de
. Como
é abeliano, esse subgrupo seria normal, contradizendo a simplicidade de
.
Portanto não pode haver divisores
com
. Isso significa exatamente que
é primo.
Passo 5
Concluir e interpretar o resultado.
Juntando os passos: a simplicidade e comutatividade forçaram
a ser cíclico (Passo 2), finito (Passo 3) e de ordem sem divisores próprios (Passo 4). Logo existe um primo
tal que
e
(o grupo cíclico de ordem
).
Isto responde o que foi pedido.