(9 pontos) Sabendo que y_{1}(x)=e^{x^{3}}, x>0 é uma solução da
x y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-9 x^{5} y=0
Determine a solução geral dessa equação diferencial.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
x y'' - 2 y' - 9 x^{5} y = 0,\qquad x>0,
e informa que y_{1}(x)=e^{x^{3}} é uma solução. O que se pede é a solução geral da equação, ou seja, encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(x) e escrever a solução geral como combinação linear
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
As informações relevantes:
  • A equação dada e que x>0 (permite dividir por x).
  • Uma solução conhecida: y_{1}(x)=e^{x^{3}}.
  • Objetivo: encontrar y_{2} e, assim, a solução geral.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação em forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo a equação original por x (já que x>0) obtemos
y'' - \frac{2}{x}y' - 9x^{4}y = 0.
Aqui identificamos
P(x)=-\frac{2}{x},\qquad Q(x)=-9x^{4}.
Esta é a forma onde podemos aplicar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução a partir de y_{1}.

Passo 3

Apresentando o método de redução de ordem (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Ideia: suponha que a segunda solução tenha a forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Vamos calcular y_{2}' e y_{2}'' e substituir na equação padrão. Para simplificar a conta é comum definir u(x)=v'(x) (reduzimos a ordem).
Cálculos de derivadas:
y_{2}' = v' y_{1} + v y_{1}',\qquad y_{2}'' = v'' y_{1} + 2v' y_{1}' + v y_{1}''.
Agora substituímos y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.
Como y_{1} já satisfaz a equação, os termos que contêm v vão se cancelar, deixando uma equação de primeira ordem para u=v'. Essa redução leva, após simplificações padrão, à fórmula prática (que usaremos):
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Explicando cada parte dessa fórmula:
  • P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0.
  • \int P(x)\,dx é uma primitiva de P.
  • e^{-\int P} aparece ao isolar a equação de primeira ordem para u.
  • O integrando \dfrac{e^{-\int P}}{y_{1}^{2}} é a função cuja integral, multiplicada por y_{1}, fornece uma segunda solução.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso.
Temos P(x)=-\dfrac{2}{x}. Calculemos \int P(x)\,dx:
\int P(x)\,dx=\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln x.
Então
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-(-2\ln x)}=e^{2\ln x}=x^{2}.
Substituindo na fórmula:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{x^{2}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
Lembrando que y_{1}(x)=e^{x^{3}}, temos y_{1}(x)^{2}=e^{2x^{3}}. Portanto o integrando fica
\frac{x^{2}}{y_{1}^{2}}=x^{2}e^{-2x^{3}}.

Passo 5

Calcular a integral
\int x^{2} e^{-2x^{3}}\,dx.
Fazemos a substituição elementar t=-2x^{3}. Então
dt = -6x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = -\frac{1}{6}\,dt.
Substituindo:
\int x^{2} e^{-2x^{3}}\,dx = \int e^{t}\left(-\frac{1}{6}\,dt\right) = -\frac{1}{6} e^{t} + C = -\frac{1}{6} e^{-2x^{3}} + C.

Passo 6

Agora montar y_{2}:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\left(-\frac{1}{6} e^{-2x^{3}} + C\right).
Podemos separar a parte com a constante de integração:
y_{2}(x) = -\frac{1}{6} y_{1}(x) e^{-2x^{3}} + C\,y_{1}(x).
Mas y_{1}(x)e^{-2x^{3}} = e^{x^{3}} e^{-2x^{3}} = e^{-x^{3}}. Assim a contribuição essencial (uma solução linearmente independente de y_{1}) é
y_{2}(x) = e^{-x^{3}}
até um factor constante (o fator -\tfrac{1}{6} pode ser absorvido na constante multiplicativa).

Passo 7

Verificação rápida de independência linear (para ficar seguro): calcular o Wronskiano de y_{1} e y_{2}.
y_{1}=e^{x^{3}},\quad y_{1}'=3x^{2}e^{x^{3}};
y_{2}=e^{-x^{3}},\quad y_{2}'=-3x^{2}e^{-x^{3}}.
O Wronskiano é
W(y_{1},y_{2})= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}' - y_{1}'y_{2} = e^{x^{3}}(-3x^{2}e^{-x^{3}}) - 3x^{2}e^{x^{3}}e^{-x^{3}} = -6x^{2}.
Como x>0, temos W(y_{1},y_{2})\neq 0; logo as soluções são linearmente independentes e formam uma base de soluções.]

Passo 8

Conclusão: a solução geral da equação é a combinação linear das duas soluções independentes encontradas.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x^{3}}+C_{2}e^{-x^{3}},\qquad C_{1},C_{2}\\ \text{constantes arbitrárias.}á

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