(9 pontos) Sabendo que y_{1}(x)=e^{x^{3}}, x>0 é uma solução da
x y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-9 x^{5} y=0
Determine a solução geral dessa equação diferencial.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem
x y'' - 2 y' - 9 x^{5} y = 0,\qquad x>0,
e informa que y_{1}(x)=e^{x^{3}} é uma solução. O que se pede é a solução geral da equação, ou seja, encontrar uma segunda solução linearmente independente y_{2}(x) e escrever a solução geral como combinação linear
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.
As informações relevantes:
A equação dada e que x>0 (permite dividir por x).
Uma solução conhecida: y_{1}(x)=e^{x^{3}}.
Objetivo: encontrar y_{2} e, assim, a solução geral.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação em forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo a equação original por x (já que x>0) obtemos
y'' - \frac{2}{x}y' - 9x^{4}y = 0.
Aqui identificamos
P(x)=-\frac{2}{x},\qquad Q(x)=-9x^{4}.
Esta é a forma onde podemos aplicar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução a partir de y_{1}.
Passo 3
Apresentando o método de redução de ordem (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Ideia: suponha que a segunda solução tenha a forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar. Vamos calcular y_{2}' e y_{2}'' e substituir na equação padrão. Para simplificar a conta é comum definir u(x)=v'(x) (reduzimos a ordem).
Cálculos de derivadas:
y_{2}' = v' y_{1} + v y_{1}',\qquad y_{2}'' = v'' y_{1} + 2v' y_{1}' + v y_{1}''.
Agora substituímos y_{2},y_{2}',y_{2}'' na equação
y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0.
Como y_{1} já satisfaz a equação, os termos que contêm v vão se cancelar, deixando uma equação de primeira ordem para u=v'. Essa redução leva, após simplificações padrão, à fórmula prática (que usaremos):