(9 pontos) Use a transformada de Laplace para determinar a solução do problema de valor inicial
Passo 1
O problema pede encontrar a solução do problema de valor inicial dado por
Informações relevantes fornecidas:
- Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
. - Condições iniciais:
e .
Objetivo: determinar para usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Breve lembrete das fórmulas da transformada de Laplace que vou usar (tudo padrão):
- Defino
. - Transformadas das derivadas:
- Transformada do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento): se
então . - Transformadas básicas:
- Também usarei a identidade útil
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace na equação diferencial inteira. Tomando
em ambos os lados:
Substituo as fórmulas para derivadas e as condições iniciais
:
Agora insiro
e
:
Agrupando os termos com
e os termos livres:
Passo 4
Calculo a transformada do forçante usando o teorema do deslocamento:
, logo
Portanto o lado direito é
.
Voltando à equação:
Voltando à equação:
Observação:
. Isolo
:
Passo 5
Para facilitar a inversão, faço a mudança
. Então
e
Assim
A inversa de Laplace de uma função em
corresponde à função multiplicada por
. Ou seja, se
com
, então
. Portanto primeiro encontro
e depois multiplico por
.
Passo 6
Inverto termo a termo. Primeiro o termo
.
Usarei a fórmula conhecida
Usarei a fórmula conhecida
Aqui
. Então
Multiplicando pelo coeficiente
obtemos
Passo 7
Agora inverto
. Faço a separação:
Usando transformadas conhecidas:
Logo
Passo 8
Somando os resultados dos Passos 6 e 7 para obter
:
Agrupo termos semelhantes (seno e cosseno):
Finalmente, lembrando do deslocamento
, a solução
é
Passo 9
Verificação rápida das condições iniciais (confirmação):
- Em
: . Então
confere com
.
- Derivando e avaliando em
(cálculo breve): escrever dá
Já temos
. Calculando
e avaliando em
obtém-se
. Portanto
, que confere com a condição dada.