(c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f(t)=\delta(t-\pi) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).
(a) reconhecer que, pelo método de variação de parâmetros, a solução éy=\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)} \sin(t-\tau)\, f(\tau)\,d\tau.(aqui foi apresentado esse resultado; não é necessário derivá‑lo.)
(b) mostrar que, ao tomar f(t)=\delta(t-\pi), essa integral reduz-se à formay=u_n(t)\,e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi),onde u_n(t) é a função degrau (Heaviside) desdobrada ao tempo \pi — isto é, u_n(t)=u(t-\pi).
(c) resolver o mesmo problema com f(t)=\delta(t-\pi) usando transformada de Laplace e confirmar que a solução coincide com a do item (b).
Informações relevantes fornecidas:
Condições iniciais nulas: \,y(0)=0,\;y'(0)=0.
Força externa f(t) será a distribuição \delta(t-\pi) no itens (b) e (c).
A solução “reconhecida” no enunciado é uma integral de convolução com núcleo \,e^{-(t-\tau)}\sin(t-\tau).
Passo 2
Propriedade da delta de Dirac útil para o item (b).
Vou lembrar e explicar a propriedade básica da distribuição delta que vamos usar muitas vezes na prova. Para uma função suficientemente bem comportada g(\tau)\) e para um número fixo \(a\),
\[\int_{-\infty}^{+\infty} g(\tau)\,\delta(\tau-a)\,d\tau = g(a).
Na prática, se a integral tem limites diferentes, a igualdade vale desde que a esteja dentro dos limites de integração; caso contrário a integral é zero. Em particular, para integração no intervalo [0,t] temos
Aqui explicito: a integral é nula sempre que \pi>t (ou seja, para t<\pi); quando t\ge\pi a integral avalia g(\pi), produzindo o fator e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi). Em notação pedida no enunciado u_n(t)=u(t-\pi), então
y(t)=u_n(t)\,e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi),
concluindo o item (b).
Passo 4
Preparando a solução por transformada de Laplace (teoria e fórmulas que vamos usar).
Vou relembrar as propriedades de Laplace que usarei, sempre indicando o que cada símbolo significa:
Denotamos por Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) a transformada de Laplace da solução y(t).
Transformadas de derivadas (válidas se y e y' são adequadas e com y(0), y'(0) finitos):\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Transformada da delta deslocada:\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}(s)=e^{-a s}.
Teorema do deslocamento (em t): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}(s)=e^{-a s}F(s).
Aplicando o teorema do deslocamento (em que um fator e^{-\pi s} corresponde a um atraso por \pi multiplicando por u(t-\pi) e deslocando a função), concluímos
y(t)=u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi).
Isto é exatamente a mesma expressão obtida no item (b). Assim a solução via Laplace confirma a do item (b).