Calcule a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F(s)=\frac{4}{s^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função F(s)=\dfrac{4}{s^{3}} e pede a transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s).
Informações relevantes fornecidas:
  • F(s)=\dfrac{4}{s^{3}}.
  • A transformada inversa deve ser uma função de t (geralmente considerada para t\ge0).
    A partir daqui vou mostrar passo a passo como encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.

Passo 2

Lembrete das propriedades que vou usar (explicando devagar):
  • Linearidade da transformada de Laplace: se a é constante e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então \mathcal{L}\{a\,g(t)\}=a\,G(s). O mesmo vale para a transformada inversa: \mathcal{L}^{-1}\{a\,G(s)\}=a\,g(t).
  • Uma fórmula padrão muito útil é a transformada de potências de t: para inteiro n\ge0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Vou mostrar rapidamente por que essa fórmula é verdadeira (para você entender e conseguir usar na prova).

Passo 3

Demonstração curta da fórmula \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}:
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-st}\,dt.
Faço a substituição u=st, então t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-st}\,dt = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{u}{s}\right)^{n} e^{-u}\frac{du}{s} = \frac{1}{s^{n+1}}\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du.
A integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du é a definição da função Gamma em um inteiro: \Gamma(n+1)=n!. Portanto
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Prontinho — agora usamos isso para nosso caso.

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=2:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Isto significa que \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{t^{2}}{2}, porque multiplicando a transformada de t^{2} por 1/2 1/s^{3}.

Passo 5

Agora uso linearidade: como F(s)=\dfrac{4}{s^{3}}=4\cdot\dfrac{1}{s^{3}}, temos
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=4\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\} =4\cdot\frac{t^{2}}{2}=2\,t^{2}.
Então a transformada de Laplace inversa de \dfrac{4}{s^{3}} é a função 2t^{2} (para t\ge0).

Resposta

f(t)=2t^{2}

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