Calcule a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função
tal que
Informações relevantes fornecidas:
-
. - A transformada inversa deve ser uma função de
(geralmente considerada para ).
A partir daqui vou mostrar passo a passo como encontrar.
Passo 2
Lembrete das propriedades que vou usar (explicando devagar):
- Linearidade da transformada de Laplace: se
é constante e , então . O mesmo vale para a transformada inversa: . - Uma fórmula padrão muito útil é a transformada de potências de
: para inteiro ,
Vou mostrar rapidamente por que essa fórmula é verdadeira (para você entender e conseguir usar na prova).
Passo 3
Demonstração curta da fórmula
:
Faço a substituição
, então
e
. Assim
A integral
é a definição da função Gamma em um inteiro:
. Portanto
Prontinho — agora usamos isso para nosso caso.
Passo 4
Aplicando a fórmula com
:
Isto significa que
, porque multiplicando a transformada de
por
dá
.
Passo 5
Agora uso linearidade: como
, temos
Então a transformada de Laplace inversa de
é a função
(para
).