Resolva as equações diferenciais abaixo, utilizando a transformada de Laplace:
, com a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial, usando transformada de Laplace.
Passo 2
Lembrete da definição e propriedades que vamos usar (devagar e sem pressa).
- A transformada de Laplace de uma função
é
Ela transforma uma função de
em uma função de
. Aqui
é a variável complexa da transformada; para funções exponenciais consideradas, existe convergência para
suficientemente grande (veremos o caso prático).
- Transformada de uma exponencial simples: para constante
,
válido para
. No nosso problema,
, então
(para
).
- Transformada da derivada: se
, então
Isto vem de integrar por partes a definição da transformada aplicada a
. Aqui sabemos
, o que vai simplificar bastante.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
- Tomando
em obtemos
- Substituindo as fórmulas das transformadas:
- Usando a condição inicial
isso fica
- Fatorando
:
- Logo
Passo 4
Agora precisamos fazer a transformada inversa de
para voltar a
.
- Há uma transformada padrão bem útil: para constante
,
Explicação rápida de onde vem essa fórmula: partimos de
e usamos a propriedade
Aplicando com
dá
- Como no nosso caso
, pela correspondência acima concluímos que a transformada inversa é
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Calcular
para :
- Então
A equação é satisfeita. Também
, portanto a condição inicial é satisfeita.