Resolva as equações diferenciais abaixo, utilizando a transformada de Laplace:
y^{\prime}-5 y=e^{5 x}, com a condição inicial y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com condição inicial:
  • Equação: y^{\prime}-5y=e^{5x}.
  • Condição inicial: y(0)=0.
O que se pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial, usando transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrete da definição e propriedades que vamos usar (devagar e sem pressa).
  • A transformada de Laplace de uma função f(x) é
\mathcal{L}\{f(x)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} f(x)\,dx.
Ela transforma uma função de x em uma função de s. Aqui s é a variável complexa da transformada; para funções exponenciais consideradas, existe convergência para s suficientemente grande (veremos o caso prático).
  • Transformada de uma exponencial simples: para constante a,
\mathcal{L}\{e^{a x}\}(s)=\frac{1}{s-a},
válido para \Re(s)>a. No nosso problema, a=5, então \mathcal{L}\{e^{5x}\}(s)=\dfrac{1}{s-5} (para \Re(s)>5).
  • Transformada da derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(x)\}(s), então
\mathcal{L}\{y'(x)\}(s)=sY(s)-y(0).
Isto vem de integrar por partes a definição da transformada aplicada a y'. Aqui sabemos y(0)=0, o que vai simplificar bastante.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
  • Tomando \mathcal{L} em y^{\prime}-5y=e^{5x} obtemos
\mathcal{L}\{y'(x)\}(s)-5\mathcal{L}\{y(x)\}(s)=\mathcal{L}\{e^{5x}\}(s).
  • Substituindo as fórmulas das transformadas:
\big(sY(s)-y(0)\big)-5Y(s)=\frac{1}{s-5}.
  • Usando a condição inicial y(0)=0 isso fica
sY(s)-5Y(s)=\frac{1}{s-5}.
  • Fatorando Y(s):
(s-5)Y(s)=\frac{1}{s-5}.
  • Logo
Y(s)=\frac{1}{(s-5)^2}.

Passo 4

Agora precisamos fazer a transformada inversa de Y(s) para voltar a y(x).
  • Há uma transformada padrão bem útil: para constante a,
\mathcal{L}\{x e^{a x}\}(s)=\frac{1}{(s-a)^2}.
Explicação rápida de onde vem essa fórmula: partimos de \mathcal{L}\{e^{a x}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} e usamos a propriedade
\mathcal{L}\{x f(x)\}(s)=-\frac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{f(x)\}(s)\big).
Aplicando com f(x)=e^{a x}
\mathcal{L}\{x e^{a x}\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right)=\frac{1}{(s-a)^2}.
  • Como no nosso caso Y(s)=\dfrac{1}{(s-5)^2}, pela correspondência acima concluímos que a transformada inversa é
y(x)=x e^{5x}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Calcular y'(x) para y(x)=x e^{5x}:
y'(x)=e^{5x}+5x e^{5x}=e^{5x}(1+5x).
  • Então
y'(x)-5y(x)=e^{5x}(1+5x)-5(x e^{5x})=e^{5x}.
A equação é satisfeita. Também y(0)=0\cdot e^{0}=0, portanto a condição inicial é satisfeita.

Resposta

y(x)=x e^{5x}

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