Questão 22 - Uma barra fina uniforme oscila em torno de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é perpendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5 s e uma amplitude angular de 10^circ. O momento de inércia da barra é 1 / 3 ML^2. O centro de massa está a uma distância de meia barra até o eixo de rotação. Qual é o comprimento da barra? R: 0,84 m

Passo 1

O enunciado descreve uma barra fina e uniforme de massa M e comprimento L, presa por uma das extremidades e oscilando em small-angle no plano vertical. Temos o momento de inércia em relação ao eixo de rotação
I = tfrac13 M L^2,
o centro de massa está a
d = tfracL2
do pivô, e o período medido é T = 1,5 s. Vamos usar a fórmula do período de um pêndulo físico para pequenas oscilações.

Passo 2

A expressão geral do período de um pêndulo físico é
T = 2pi raizIM g d
Substituindo I = tfrac13 M L^2 e d = tfracL2, obtemos
T = 2pi raiztfrac13M L^2M g ,tfracL2 = 2pi raiztfrac13L^2g,tfracL2 = 2pi raiz2L3g

Passo 3

Isolando L na última expressão, temos
T = 2pi raiz2L3g Longrightarrow T2pi = raiz2L3g Longrightarrow T^24pi^2 = 2L3g Longrightarrow L = 3g,T^28pi^2

Passo 4

Agora basta substituir T = 1,5 s e g = 9,8 m/s^2:
L = 3 times 9,8 times (1,5)^28pi^2 = 3 times 9,8 times 2,258 times 9,8696 approx 0,84 m

Resposta

O comprimento da barra é aproximadamente 0,84 m.

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