Questão 06 - Se um objeto sobre uma superfície horizontal, sem atrito, é preso a uma mola, deslocado e depois liberado, ele irá oscilar. Se ele for deslocado 0,12 m de sua posição de equilíbrio e liberado com velocidade inicial igual a zero, depois de 0,8 s verifica-se que seu deslocamento é de 0,12 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição de equilíbrio durante esse intervalo. Ache
a) a amplitude, o período, a frequência e a frequência angular; R: 0,12 m, 1,6 s, 0,62 Hz e 3,92 rad / s
b) a velocidade e a aceleração máximas e a posição que elas ocorrem; R: 0,47 m / s e 1,84 m / s^2
c) indique a posição em que a velocidade e a aceleração são nulas e explique.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento harmônico simples (MHS) de um objeto acoplado a uma mola, sem atrito, deslocado inicialmente 0,12,m da posição de equilíbrio e liberado com velocidade zero. Após 0,8,s observa-se que o deslocamento é -0,12,m (no lado oposto) e que o objeto cruzou a posição de equilíbrio exatamente uma vez. Para resolver, vamos usar as equações canônicas do MHS:
x(t)=Acos(omega t), v(t)=-Aomegasin(omega t), a(t)=-omega^2x(t)

Passo 2

Como em t=0 temos x(0)=A=0,12,m e v(0)=0, de fato x(t)=Acos(omega t). Em t=0,8,s tem-se x(0,8)=-A, ou seja
cos(omegacdot0,8)=-1Longrightarrow omegacdot0,8=pi
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omega=pi0,8approx3,92 rad/s
O período obedece T=2pi/omega e a frequência f=1/T.

Passo 3

Substituindo em T=2pi/omega e f=1/T, obtemos
T=2pi3,92approx1,6 s, f=11,6approx0,62 Hz
Portanto,
amplitude A=0,12,m,
período T=1,6,s,
frequência f=0,62,Hz,
frequência angular omega=3,92,rad/s.

Passo 4

A velocidade máxima em MHS é
vmax=A,omega=0,12times3,92approx0,47 m/s,
e ocorre quando sin(omega t)=pm1, isto é, na passagem pela posição de equilíbrio x=0.
A aceleração máxima vale
amax=A,omega^2=0,12times(3,92)^2approx1,84 m/s^2,
e ocorre nos extremos do movimento, isto é, em x=pm A=pm0,12,m.

Passo 5

A velocidade é nula quando sin(omega t)=0, portanto nos pontos de inversão x=pm A, pois ali o objeto para e inverte o sentido. A aceleração é dada por a=-omega^2x e só se anula quando x=0, isto é, o objeto passa pelo equilíbrio sem receber aceleração instantânea.

Resposta

a) Amplitude A=0,12,m; período T=1,6,s; frequência f=0,62,Hz; frequência angular omega=3,92,rad/s.
b) Velocidade máxima vmax=0,47,m/s em x=0; aceleração máxima amax=1,84,m/s ^2 em x=pm0,12,m.
c) Velocidade nula em x=pm0,12,m (pontos de inversão) e aceleração nula em x=0 (posição de equilíbrio).

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