Questão 22

Uma empresa de tecnologia tem 8 programadores e 6 designers. Se um comitê de 5 membros deve ser formado com exatamente 3 programadores e 2 designers, determine de quantas maneiras diferentes esse comitê pode ser formado.
(A) 840.
(B) 1050.
(C) 210.
(D) 420 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações dadas: há 8 programadores e 6 designers; será formado um comitê de 5 membros; o comitê deve conter exatamente 3 programadores e exatamente 2 designers. Pergunta: de quantas maneiras diferentes esse comitê pode ser formado?

Passo 2

Entendimento do que precisamos contar (sem ordem): cada comitê é apenas um subconjunto de pessoas — a ordem em que escolhemos os membros não importa. Portanto, para formar o comitê precisamos escolher um subconjunto de 3 programadores entre os 8 disponíveis e, simultaneamente, escolher um subconjunto de 2 designers entre os 6 disponíveis. Como a escolha dos programadores é independente da escolha dos designers, o número total de comitês será o produto do número de escolhas de programadores pelo número de escolhas de designers (princípio multiplicativo).

Passo 3

Explicação e fórmula da combinação: o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos, sem considerar ordem, chama-se combinação e é denotado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. Intuição rápida: \binom{n}{k} conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de tamanho n.

Passo 4

Aplicando a fórmula para os programadores: queremos escolher 3 entre 8, então
\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{(3\cdot2\cdot1)\cdot5!}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Agora calculamos passo a passo:
\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\frac{8\cdot7\cdot6}{6}=8\cdot7=56.
Logo existem 56 maneiras de escolher os 3 programadores.

Passo 5

Aplicando a fórmula para os designers: queremos escolher 2 entre 6, então
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{(2\cdot1)\cdot4!}=\frac{6\cdot5}{2\cdot1}.
Calculando:
\frac{6\cdot5}{2}=3\cdot5=15.
Logo existem 15 maneiras de escolher os 2 designers.

Passo 6

Multiplicando as escolhas independentes (princípio multiplicativo): o número total de comitês com exatamente 3 programadores e 2 designers é
\binom{8}{3}\cdot\binom{6}{2}=56\cdot15.
Calcule 56\cdot15 sem calculadora:
56\cdot15=56\cdot(10+5)=560+280=840.
Portanto há 840 comitês possíveis. Bom trabalho — você conseguiu seguir a ideia: escolha de cada grupo separadamente e multiplica no final!

Resposta

(A) 840

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