Questão 22. Encontre um vetor que seja ortogonal ao plano que contém os pontos A=(2,0,2), B= (-1,0,3), C=(5,-1,-4).

Passo 1

O enunciado pede um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A=(2,0,2), B=(-1,0,3) e C=(5,-1,-4). Para isto, vamos usar vetores que estão no plano e então calcular o produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular ao plano.

Passo 2

Escolhemos dois vetores do plano, por exemplo
\overrightarrow{AB}=B-A = \bigl((-1)-2,\;0-0,\;3-2\bigr)=(-3,0,1),
\overrightarrow{AC}=C-A = \bigl(5-2,\;-1-0,\;-4-2\bigr)=(3,-1,-6).

Passo 3

O vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -3 & 0 & 1 \\\\ 3 & -1 & -6 \end{vmatrix} = \bigl(1,-15,3\bigr).

Resposta

Um vetor ortogonal ao plano é \,(1,-15,3).

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