Questão 23. Encontre um vetor que seja ortogonal ao plano que contém os pontos A=(1,0,1), B= (-1,0,1), C=(2,1,2).

Passo 1

O enunciado pede um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,1) e C=(2,1,2). Para isso, vamos usar o produto vetorial entre dois vetores que estão nesse plano, por exemplo, \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.

Passo 2

Calculamos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} subtraindo coordenadas:
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1-1,\;0-0,\;1-1) = (-2,0,0)
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;1-0,\;2-1) = (1,1,1)

Passo 3

Aplicamos o produto vetorial:
\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} = \bigl(0\cdot 1 - 0\cdot 1,\;0\cdot 1 - (-2)\cdot 1,\;-2\cdot 1 - 0\cdot 1\bigr) = (0,2,-2)

Passo 4

Podemos simplificar dividindo o vetor obtido por 2. Basta notar que
\frac{1}{2}(0,2,-2) = (0,1,-1)
que também é normal ao plano.

Resposta

Um vetor ortogonal ao plano é (0,1,-1).

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