Questão 20. Obtenha um vetor normal a um plano \pi de equações paramétricas \left\{
\begin{array}{l}
x=-1+2 \lambda-3 \mu \\\ y=1+\lambda+\mu \\\ z=\lambda
\end{array}
\right..
O conteúdo é geometria vetorial: para achar um vetor normal ao plano, basta cruzar os dois vetores diretores.
Passo 2
Identificamos os vetores diretores como \vec u=(2,1,1) e \vec v=(-3,1,0).
Eles estão contidos no plano e, por construção, um vetor normal deve ser perpendicular aos dois.
Passo 3
Calculamos o produto vetorial
\vec n=\vec u\times\vec v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&1&1\\\\ -3&1&0 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo a respeito da primeira linha:
\vec n =\mathbf{i}(1\cdot0-1\cdot1) -\mathbf{j}(2\cdot0-1\cdot(-3)) +\mathbf{k}(2\cdot1-1\cdot(-3)) =(-1,-3,5).
Passo 4
O vetor \vec n=(-1,-3,5) é perpendicular a \vec u e \vec v, logo é normal ao plano \pi. Qualquer múltiplo escalar não nulo de \vec n também serve.