Questão 22: Ar entra em um bocal a 0.5 \mathrm{MPa}, 420 \mathrm{~K} e velocidade de 110 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Aproximando o escoamento como isentrópico, determine a pressão e temperatura do ar na seção onde a velocidade atinge a velocidade do som. Qual a razão A^{*} / A_{\text {entrada }} ?

Passo 1

O enunciado dá as condições do ar na seção de entrada do bocal e pede as condições na seção sônica (onde a velocidade atinge a velocidade do som) e a razão de áreas entre a seção crítica (sônica) e a entrada. Dados fornecidos (todos são valores na seção de entrada, isto é, propriedades estáticas na entrada):
p_1 = 0{,}5\\ \text{MPa} = 500000\\ \text{Pa},
T_1 = 420\\ \text{K},
v_1 = 110\\ \text{m/s}.
Perguntas:
  1. Determinar a pressão estática \;p^*\; e a temperatura estática \;T^*\; na seção onde a velocidade é igual à velocidade do som (ou seja, \;M=1\;).
  2. Determinar a razão de áreas \;A^*/A_{\text{entrada}}\; (ou seja, \;A^*/A_1\;).
Observações que usarei (sem pedir nada a mais): considerarei o ar como gás perfeito com constantes padrão:
\gamma = 1{,}4,\qquad R = 287\\ \text{J/(kg·K)}.

Passo 2

Entendendo a estratégia (em termos práticos): em escoamento isentrópico a energia total e pressão total (estagnação) são constantes ao longo do bocal. Vou:
  1. Calcular o número de Mach na entrada \;M_1\; usando a velocidade dada e a velocidade do som local.
  2. Usar as relações isentrópicas para obter as propriedades de estagnação \;T_0 e \;p_0 a partir de \;T_1,p_1,M_1\;.
  3. A partir de \;T_0,p_0\; obter as propriedades na seção sônica ( \;M=1\;): \;T^*,p^*\;.
  4. Calcular a razão de áreas \;A^*/A_1\; usando a relação área–Mach.
Vou explicar e aplicar cada fórmula com cuidado.

Passo 3

Calcular a velocidade do som na entrada e o número de Mach \;M_1\;.
A velocidade do som para gás perfeito é
a = \sqrt{\gamma R T}.
Aplicando na entrada:
a_1 = \sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 420}.
Calculemos passo a passo: 287\cdot 420 = 120540. Multiplicando por 1{,}4 168756. Logo
a_1 = \sqrt{168756}\approx 410{,}85\\ \text{m/s}.
O número de Mach na entrada é
M_1 = \frac{v_1}{a_1} = \frac{110}{410{,}85}\approx 0{,}2678.
Pequeno comentário didático: o número de Mach \;M=v/a\; mede a velocidade do fluido relativa à velocidade do som local. Aqui \;M_1\ll1\; então a entrada é subsonica.

Passo 4

Calcular a temperatura de estagnação \;T_0\;.
A definição prática de temperatura de estagnação (para gás perfeito, sem troca de calor além da conversão cinética→interno) é
T_0 = T + \frac{v^2}{2 c_p},
onde c_p é a capacidade calorífica a pressão constante. Para ar ideal,
c_p = \frac{\gamma R}{\gamma-1}.
Calculando c_p:
c_p = \frac{1{,}4\cdot 287}{0{,}4} = \frac{401{,}8}{0{,}4}=1004{,}5\\ \text{J/(kg·K)}.
Agora a correção cinética:
\frac{v_1^2}{2c_p} = \frac{110^2}{2\cdot 1004{,}5} = \frac{12100}{2009}\approx 6{,}024\\ \text{K}.
Então
T_0 = 420 + 6{,}024 \approx 426{,}02\\ \text{K}.
(Equivalente à relação isentrópica \;T_0 = T_1\left(1+\tfrac{\gamma-1}{2}M_1^2\right)\;; aqui \tfrac{\gamma-1}{2}=0{,}2 e 1+0{,}2M_1^2\approx 1{,}01434.)

Passo 5

Calcular a pressão de estagnação \;p_0\; a partir de \;p_1 e \;M_1\; (relação isentrópica).
A relação isentrópica entre pressão total e estática é
p_0 = p\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Aplicando na entrada ( p_1,M_1):
p_0 = p_1\left(1+0{,}2\,M_1^2\right)^{3{,}5}.
Já calculamos 1+0{,}2M_1^2\approx 1{,}01434. Então
p_0 = 500000\cdot (1{,}01434)^{3{,}5}\approx 500000\cdot 1{,}0511 \approx 525550\\ \text{Pa}.
Ou seja \;p_0\approx 0{,}5256\\ \text{MPa}.

Passo 6

Calcular \;T^*\; (temperatura estática na seção sônica, M=1).
Para qualquer Mach, a relação entre temperatura estática e temperatura de estagnação é
T = T_0\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-1}.
Em M=1 isso vira
T^* = \frac{T_0}{1+\tfrac{\gamma-1}{2}} = \frac{T_0}{1{,}2}.
Usando T_0\approx 426{,}02\\ \text{K}:
T^* = \frac{426{,}02}{1{,}2}\approx 355{,}02\\ \text{K}.

Passo 7

Calcular \;p^*\; (pressão estática na seção sônica, M=1).
A relação entre pressão de estagnação e pressão estática é
p_0 = p\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Em M=1:
p^* = \frac{p_0}{\left(1+\tfrac{\gamma-1}{2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}} = \frac{p_0}{(1{,}2)^{3{,}5}}.
Calculando (1{,}2)^{3{,}5}\approx 1{,}892. Então usando p_0\approx 525550\\ \text{Pa}:
p^* \approx \frac{525550}{1{,}892}\approx 277640\\ \text{Pa}\approx 0{,}278\\ \text{MPa}.
(Verificação alternativa rápida: compute p^*/p_1\approx 0{,}5556 e 0{,}5556\cdot 0{,}5\\ \text{MPa}\approx 0{,}2778\\ \text{MPa}, resultados coerentes.)

Passo 8

Calcular a razão de áreas \;A^*/A_1\; usando a relação área–Mach (escoamento isentrópico, seção de área variável).
A relação é
\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}.
Para a entrada (índice 1), isto dá \;A_1/A^*\;. Vamos calcular \;A^*/A_1 = (A_1/A^*)^{-1}.
Primeiro calculemos o termo entre colchetes para M_1:
\frac{2}{\gamma+1} = \frac{2}{2{,}4}=0{,}833333\ldots
e
1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2 \approx 1{,}01434.
Produto:
\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_1^2\right)\approx 0{,}833333\cdot 1{,}01434 \approx 0{,}845283.
O expoente é
\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)} = \frac{2{,}4}{0{,}8} = 3{,}0.
Então
\left(0{,}845283\right)^3 \approx 0{,}6049.
Agora
\frac{A_1}{A^*} = \frac{1}{M_1}\cdot 0{,}6049 \approx \frac{0{,}6049}{0{,}2678}\approx 2{,}258.
Portanto
\frac{A^*}{A_1} \approx \frac{1}{2{,}258}\approx 0{,}443.
Interpretação física curta: como A^*/A_1<1, a seção sônica é menor que a área de entrada — típico de um bocal convergente onde a velocidade aumenta ao longo do bocal até M=1.

Resposta

T^* \approx 355{,}0\\ \text{K}
p^* \approx 2{,}78\times 10^{5}\\ \text{Pa} \;=\;0{,}278\\ \text{MPa}
\displaystyle \frac{A^*}{A_{\text{entrada}}}\approx 0{,}443

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