Questão 22: Ar entra em um bocal a
e velocidade de
. Aproximando o escoamento como isentrópico, determine a pressão e temperatura do ar na seção onde a velocidade atinge a velocidade do som. Qual a razão
?
Passo 1
O enunciado dá as condições do ar na seção de entrada do bocal e pede as condições na seção sônica (onde a velocidade atinge a velocidade do som) e a razão de áreas entre a seção crítica (sônica) e a entrada. Dados fornecidos (todos são valores na seção de entrada, isto é, propriedades estáticas na entrada):
Perguntas:
- Determinar a pressão estática
e a temperatura estática na seção onde a velocidade é igual à velocidade do som (ou seja, ). - Determinar a razão de áreas
(ou seja, ).
Observações que usarei (sem pedir nada a mais): considerarei o ar como gás perfeito com constantes padrão:
Passo 2
Entendendo a estratégia (em termos práticos): em escoamento isentrópico a energia total e pressão total (estagnação) são constantes ao longo do bocal. Vou:
- Calcular o número de Mach na entrada
usando a velocidade dada e a velocidade do som local. - Usar as relações isentrópicas para obter as propriedades de estagnação
e a partir de . - A partir de
obter as propriedades na seção sônica ( ): . - Calcular a razão de áreas
usando a relação área–Mach.
Vou explicar e aplicar cada fórmula com cuidado.
Passo 3
Calcular a velocidade do som na entrada e o número de Mach
.
A velocidade do som para gás perfeito é
Aplicando na entrada:
Calculemos passo a passo:
. Multiplicando por
dá
. Logo
O número de Mach na entrada é
Pequeno comentário didático: o número de Mach
mede a velocidade do fluido relativa à velocidade do som local. Aqui
então a entrada é subsonica.
Passo 4
Calcular a temperatura de estagnação
.
A definição prática de temperatura de estagnação (para gás perfeito, sem troca de calor além da conversão cinética→interno) é
onde
é a capacidade calorífica a pressão constante. Para ar ideal,
Calculando
:
Agora a correção cinética:
Então
(Equivalente à relação isentrópica
; aqui
e
.)
Passo 5
Calcular a pressão de estagnação
a partir de
e
(relação isentrópica).
A relação isentrópica entre pressão total e estática é
Aplicando na entrada (
):
Já calculamos
. Então
Ou seja
Passo 6
Calcular
(temperatura estática na seção sônica,
).
Para qualquer Mach, a relação entre temperatura estática e temperatura de estagnação é
Em
isso vira
Usando
:
Passo 7
Calcular
(pressão estática na seção sônica,
).
A relação entre pressão de estagnação e pressão estática é
Em
:
Calculando
. Então usando
:
(Verificação alternativa rápida: compute
e
, resultados coerentes.)
Passo 8
Calcular a razão de áreas
usando a relação área–Mach (escoamento isentrópico, seção de área variável).
A relação é
Para a entrada (índice
), isto dá
. Vamos calcular
.
Primeiro calculemos o termo entre colchetes para
:
e
Produto:
O expoente é
Então
Agora
Portanto
Interpretação física curta: como
, a seção sônica é menor que a área de entrada — típico de um bocal convergente onde a velocidade aumenta ao longo do bocal até
.