Para o caso de um escoamento compressível com choque oblíquo, mostre que a partir de um balanço da quantidade de movimento na direção tangencial, V_{t 1}=V_{t 2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um escoamento compressível que atravessa um choque oblíquo, a componente tangencial da velocidade é a mesma antes e depois do choque, isto é, provar que \,V_{t1}=V_{t2}\,, a partir de um balanço da quantidade de movimento na direção tangencial.\n
Informações/condições implícitas que vamos usar (listadas explicitamente):
  • Existe um choque oblíquo idealizado como uma descontinuidade infinitesimal (uma superfície) no fluido.
  • Vamos trabalhar em regime estacionário (steady), sem forças de corpo relevantes (por ex. gravidade desprezível na direção tangencial) e sem efeitos viscosos (escoamento invíscido).
  • Tomamos um sistema de coordenadas local com uma direção normal \,n\,\( à superfície do choque e uma direção tangencial \,t\,) ao choque.
  • As quantidades “1” e “2” referem-se aos estados a montante (antes do choque) e a jusante (depois do choque), respectivamente.
  • Objetivo: usar as leis de conservação (continuidade e quantidade de movimento) aplicadas atravessando o choque para obter a relação desejada.

Passo 2

Definimos e interpretamos as componentes de velocidade e as variáveis que vamos usar, para ficar tudo claro e evitar confusão na prova. \n
  • Seja \vec{V} a velocidade do fluido. Decompondo-a em relação à superfície do choque: \vec{V}=V_n\hat{n}+V_t\hat{t}, onde \hat{n} é o versor normal ao choque (apontando do lado 1 para o lado 2) e \hat{t} é o versor tangencial. Aqui \,V_n é a componente normal e \,V_t a componente tangencial. \n
  • \rho é a densidade do fluido. Especificamente teremos \rho_1,\,V_{n1},\,V_{t1} a montante e \rho_2,\,V_{n2},\,V_{t2} a jusante. \n
    Explicação didática: o choque altera fortemente a componente normal (causa compressão, aquecimento, variação de densidade), mas a intuição física e a teoria mostram que, se não há forças tangenciais aplicadas na descontinuidade, a componente tangencial não é afetada. Vamos provar isso formalmente com conservação de massa e de quantidade de movimento tangencial.

Passo 3

Escrevemos e justificamos a conservação de massa (continuidade) através do choque. \n
Considere um pequeno volume de controle atravessando a superfície de choque, estreito ao longo da normal, de modo que só haja fluxos significativos pelas faces normalizadas ao choque. Em regime estacionário, a massa que entra por unidade de tempo na face a montante deve ser igual à massa que sai por unidade de tempo na face a jusante. Isso dá a condição de continuidade atravessando a superfície:
\rho_1 V_{n1} = \rho_2 V_{n2}.
Explicação da fórmula: \rho V_n é o fluxo de massa por unidade de área através da superfície (massa por tempo e por área). A igualdade significa que o fluxo de massa normal é conservado através da descontinuidade. Na prova, você pode obter essa igualdade integrando a equação da continuidade no pequeno controle ou usando a condição de Rankine–Hugoniot para massa.

Passo 4

Formulamos o balanço da quantidade de movimento na direção tangencial e mostramos a equação de salto correspondente. \n
Tomemos o mesmo pequeno volume de controle atravessando o choque. Escrevemos o balanço de quantidade de movimento na direção tangencial \,t. Em regime estacionário, a soma das forças externas na direção \,t agindo sobre o volume de controle deve igualar o fluxo líquido de quantidade de movimento tangencial que sai menos o que entra. Matematicamente, em forma de balanço de forças/fluxos:
\text{Forças tangenciais sobre o CV} = \dot{m}_{\text{out}} V_{t2} - \dot{m}_{\text{in}} V_{t1}.ç
Agora analisamos as forças tangenciais que atuam sobre o volume de controle. As únicas forças superficiais significativas são de pressão. Mas a pressão é uma força normal à superfície local; sobre a própria superfície do choque a pressão age na direção normal \hat{n}, portanto não possui componente na direção tangencial \hat{t}. Além disso, assumindo escoamento invíscido, não há tensões de cisalhamento (forças viscosas) que produzam força tangencial concentrada na descontinuidade. Também não consideramos forças de corpo tangenciais. Logo, o total de forças tangenciais sobre o CV é zero. Assim o balanço reduz-se a:
0 = \dot{m}_{\text{out}} V_{t2} - \dot{m}_{\text{in}} V_{t1}.
Mas \dot{m}_{\text{in}}=\dot{m}_{\text{out}} é o fluxo de massa através do choque por unidade de área, que já expressamos: \dot{m}=\rho_1 V_{n1}=\rho_2 V_{n2}. Substituindo, obtemos a condição de salto para a quantidade de movimento tangencial:
\rho_1 V_{n1} V_{t1} = \rho_2 V_{n2} V_{t2}.
Comentário didático: esta expressão vem direto do fato de que a quantidade de movimento tangencial que cruza a superfície por unidade de tempo é (\text{massa por tempo})\times V_t = (\rho V_n)\,V_t. A igualdade decorre da ausência de forças tangenciais líquidas concentradas na descontinuidade.

Passo 5

Combine as duas equações (continuidade e momento tangencial) para isolar e demonstrar a continuidade da componente tangencial da velocidade. \n
Das expressões obtidas:
\begin{cases} \rho_1 V_{n1} = \rho_2 V_{n2},\\[6pt] \rho_1 V_{n1} V_{t1} = \rho_2 V_{n2} V_{t2}. \end{cases}
Dividindo a segunda equação pela primeira (isso é permitido porque o fluxo de massa através do choque não é zero), os termos \rho_1 V_{n1} e \rho_2 V_{n2} cancelam, deixando:
V_{t1} = V_{t2}.
Explicação didática final: a igualdade das componentes tangenciais surge porque a mesma massa que atravessa o choque leva com ela a mesma velocidade tangencial, e não há forças tangenciais para alterar essa componente durante a passagem pela descontinuidade. Assim, embora o choque modifique fortemente \,V_n e \rho, ele não altera \,V_t.]

Passo 6

Comentários práticos e lembretes para a prova (curtos, para você não esquecer): \n
  • O resultado depende das hipóteses: choque ideal ( superfície infinitesimal ), escoamento invíscido (sem tensão de cisalhamento concentrada), e ausência de forças tangenciais distribuídas na descontinuidade. Se houver fricção significativa ou tensões viscosas na superfície, a componente tangencial pode mudar. \n
  • Em problemas, uma maneira rápida de aplicar isso é decompor a velocidade incidente em normal/tangencial ao choque; aplicar as condições de salto apenas à componente normal para obter as variações de densidade/pressão/normal; manter a componente tangencial igual. Isso simplifica muito os cálculos de choque oblíquo na prova. \n
  • Exemplo mental: se o vento atinge uma folha plana e o choque é perfeito e sem atrito, o componente paralelo à folha continua o mesmo; só a componente perpendicular é alterada. Isso ajuda a fixar a ideia.

Resposta

V_{t1}=V_{t2}

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