Para o caso de um escoamento compressível com choque oblíquo, mostre que a partir de um balanço da quantidade de movimento na direção tangencial,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um escoamento compressível que atravessa um choque oblíquo, a componente tangencial da velocidade é a mesma antes e depois do choque, isto é, provar que
, a partir de um balanço da quantidade de movimento na direção tangencial.\n
Informações/condições implícitas que vamos usar (listadas explicitamente):
Informações/condições implícitas que vamos usar (listadas explicitamente):
- Existe um choque oblíquo idealizado como uma descontinuidade infinitesimal (uma superfície) no fluido.
- Vamos trabalhar em regime estacionário (steady), sem forças de corpo relevantes (por ex. gravidade desprezível na direção tangencial) e sem efeitos viscosos (escoamento invíscido).
- Tomamos um sistema de coordenadas local com uma direção normal
à superfície do choque e uma direção tangencial
) ao choque. - As quantidades “1” e “2” referem-se aos estados a montante (antes do choque) e a jusante (depois do choque), respectivamente.
- Objetivo: usar as leis de conservação (continuidade e quantidade de movimento) aplicadas atravessando o choque para obter a relação desejada.
Passo 2
Definimos e interpretamos as componentes de velocidade e as variáveis que vamos usar, para ficar tudo claro e evitar confusão na prova. \n
- Seja
a velocidade do fluido. Decompondo-a em relação à superfície do choque: , onde é o versor normal ao choque (apontando do lado 1 para o lado 2) e é o versor tangencial. Aqui é a componente normal e a componente tangencial. \n -
é a densidade do fluido. Especificamente teremos a montante e a jusante. \n
Explicação didática: o choque altera fortemente a componente normal (causa compressão, aquecimento, variação de densidade), mas a intuição física e a teoria mostram que, se não há forças tangenciais aplicadas na descontinuidade, a componente tangencial não é afetada. Vamos provar isso formalmente com conservação de massa e de quantidade de movimento tangencial.
Passo 3
Escrevemos e justificamos a conservação de massa (continuidade) através do choque. \n
Considere um pequeno volume de controle atravessando a superfície de choque, estreito ao longo da normal, de modo que só haja fluxos significativos pelas faces normalizadas ao choque. Em regime estacionário, a massa que entra por unidade de tempo na face a montante deve ser igual à massa que sai por unidade de tempo na face a jusante. Isso dá a condição de continuidade atravessando a superfície:
Considere um pequeno volume de controle atravessando a superfície de choque, estreito ao longo da normal, de modo que só haja fluxos significativos pelas faces normalizadas ao choque. Em regime estacionário, a massa que entra por unidade de tempo na face a montante deve ser igual à massa que sai por unidade de tempo na face a jusante. Isso dá a condição de continuidade atravessando a superfície:
Explicação da fórmula:
é o fluxo de massa por unidade de área através da superfície (massa por tempo e por área). A igualdade significa que o fluxo de massa normal é conservado através da descontinuidade. Na prova, você pode obter essa igualdade integrando a equação da continuidade no pequeno controle ou usando a condição de Rankine–Hugoniot para massa.
Passo 4
Formulamos o balanço da quantidade de movimento na direção tangencial e mostramos a equação de salto correspondente. \n
Tomemos o mesmo pequeno volume de controle atravessando o choque. Escrevemos o balanço de quantidade de movimento na direção tangencial . Em regime estacionário, a soma das forças externas na direção
agindo sobre o volume de controle deve igualar o fluxo líquido de quantidade de movimento tangencial que sai menos o que entra. Matematicamente, em forma de balanço de forças/fluxos:
Tomemos o mesmo pequeno volume de controle atravessando o choque. Escrevemos o balanço de quantidade de movimento na direção tangencial
Agora analisamos as forças tangenciais que atuam sobre o volume de controle. As únicas forças superficiais significativas são de pressão. Mas a pressão é uma força normal à superfície local; sobre a própria superfície do choque a pressão age na direção normal
, portanto não possui componente na direção tangencial
. Além disso, assumindo escoamento invíscido, não há tensões de cisalhamento (forças viscosas) que produzam força tangencial concentrada na descontinuidade. Também não consideramos forças de corpo tangenciais. Logo, o total de forças tangenciais sobre o CV é zero. Assim o balanço reduz-se a:
Mas
é o fluxo de massa através do choque por unidade de área, que já expressamos:
. Substituindo, obtemos a condição de salto para a quantidade de movimento tangencial:
Comentário didático: esta expressão vem direto do fato de que a quantidade de movimento tangencial que cruza a superfície por unidade de tempo é
. A igualdade decorre da ausência de forças tangenciais líquidas concentradas na descontinuidade.
Passo 5
Combine as duas equações (continuidade e momento tangencial) para isolar e demonstrar a continuidade da componente tangencial da velocidade. \n
Das expressões obtidas:
Das expressões obtidas:
Dividindo a segunda equação pela primeira (isso é permitido porque o fluxo de massa através do choque não é zero), os termos
e
cancelam, deixando:
Explicação didática final: a igualdade das componentes tangenciais surge porque a mesma massa que atravessa o choque leva com ela a mesma velocidade tangencial, e não há forças tangenciais para alterar essa componente durante a passagem pela descontinuidade. Assim, embora o choque modifique fortemente
e
, ele não altera
.]
Passo 6
Comentários práticos e lembretes para a prova (curtos, para você não esquecer): \n
- O resultado depende das hipóteses: choque ideal ( superfície infinitesimal ), escoamento invíscido (sem tensão de cisalhamento concentrada), e ausência de forças tangenciais distribuídas na descontinuidade. Se houver fricção significativa ou tensões viscosas na superfície, a componente tangencial pode mudar. \n
- Em problemas, uma maneira rápida de aplicar isso é decompor a velocidade incidente em normal/tangencial ao choque; aplicar as condições de salto apenas à componente normal para obter as variações de densidade/pressão/normal; manter a componente tangencial igual. Isso simplifica muito os cálculos de choque oblíquo na prova. \n
- Exemplo mental: se o vento atinge uma folha plana e o choque é perfeito e sem atrito, o componente paralelo à folha continua o mesmo; só a componente perpendicular é alterada. Isso ajuda a fixar a ideia.