Questão 25: O bloqueio de escoamento causado pela introdução de uma sonda intrusiva pode ser significativo. Determine o aumento percentual na velocidade da seção correspondente a uma redução de 0,5 \% na área de escoamento devido ao bloqueio por sonda para escoamento de ar, considerando:
Área da seção: 1.0 \mathrm{~m}^{2}
Temperatura de estagnação: T_{0}=20{ }^{\circ} \mathrm{C}
Números de Mach (sem bloqueio):
M a=0,2
Passo 1
O enunciado pede: determinar o aumento percentual na velocidade numa seção quando a área de escoamento é reduzida em 0{,}5\% por causa de uma sonda, para escoamento de ar. Dados fornecidos:
Área inicial: A_{0}=1{,}0\\ \mathrm{m}^{2}.
Redução relativa da área: \Delta A/A_{0}=-0{,}005 (ou seja, A_{1}=0{,}995\\ A_{0}).
Temperatura de estagnação: T_{0}=20\,^{\circ}\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Número de Mach (sem bloqueio, no estado inicial): M_{0}=0{,}2.
Fluidos: ar perfeito, usaremos \gamma=1{,}4 e R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Passo 2
Modelo físico e hipóteses (explicando a teoria de forma didática e direta):
Assumo escoamento estacionário e isentrópico (boa aproximação se a sonda bloqueia pouco e não gera perda de calor nem choque).
Conservação de massa numa corrente (tubo/ seção): a vazão mássica \dot{m} é constante, logo
\dot{m}=\rho V A=\text{constante}.
Aqui \rho é a densidade local, V é a velocidade local e A é a área da seção.
Para escoamento isentrópico de gás perfeito temos relações entre temperatura estática T, temperatura de estagnação T_{0} e Mach M:
T = \dfrac{T_{0}}{1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^{2}}.
Vou definir \tau como a razão \tau \equiv T/T_{0} para simplificar manipulações.
Passo 3
Expressões de densidade e velocidade em termos de M e \tau (mostrando cada passo):
A velocidade é dada por
V = M a = M\sqrt{\gamma R T} = M\sqrt{\gamma R T_{0}\,\tau}.
A densidade, usando p/p_{0}=(T/T_{0})^{\gamma/(\gamma-1)} e \rho=p/(R T), leva a
\rho = \rho_{0}\,\tau^{1/(\gamma-1)},
onde \rho_{0}=p_{0}/(R T_{0}) é a constante de estagnação (não precisamos do valor numérico de \rho_{0} para a razão relativa).
Então o produto \rho V (vazão mássica por unidade de área) vale
\rho V = \rho_{0}\,M\sqrt{\gamma R T_{0}}\\ \tau^{\,\left(\frac{1}{\gamma-1}+\frac{1}{2}\right)}.
Definindo o expoente
\alpha \equiv \frac{1}{\gamma-1}+\frac{1}{2},
para ar com \gamma=1{,}4 temos \dfrac{1}{\gamma-1}=\dfrac{1}{0{,}4}=2{,}5 e portanto
\alpha = 2{,}5 + 0{,}5 = 3.
Logo, a dependência essencial (ignorar constantes comuns) é
\rho V \propto M\,\tau^{3}.
Como \dot{m}=\rho V A é constante, para duas situações (antes e depois do bloqueio)
M\,\tau^{3}\,A=\text{constante}.
Passo 4
Linearização diferencial para relacionar variações pequenas (motivo: redução de 0{,}5\% é pequena, então usar aproximação linear é prático e muito preciso):
Tome logaritmo e diferencie:
\mathrm{d}\ln M + 3\,\mathrm{d}\ln\tau + \mathrm{d}\ln A = 0.
Queremos a variação relativa da velocidade V. Como V=M\sqrt{\gamma R T_{0}\tau},
\mathrm{d}\ln V = \mathrm{d}\ln M + \tfrac{1}{2}\,\mathrm{d}\ln\tau.
Precisamos relacionar \mathrm{d}\ln\tau a \mathrm{d}\ln M. Lembre que
\mathrm{d}\ln V \approx -(-0{,}005)\cdot\dfrac{0{,}9920635}{0{,}952381} =0{,}005\cdot 1{,}041333\approx 0{,}0052067.
A variação percentual (pequena) é aproximadamente 100\cdot\mathrm{d}\ln V, ou seja 0{,}52067\%, que arredondando sensatamente dá 0{,}521\%.
Passo 8
Pequena verificação numérica direta (opcional, para dar confiança):
Temperatura estática inicial \tau_{0}=1/(1+0{,}2\cdot 0{,}2^{2})\approx 0{,}9920635 e velocidade inicial V_{0}=M_{0}\sqrt{\gamma R T_{0}\tau_{0}}\approx 68{,}39\\ \mathrm{m/s}.
Aplicando aumento de 0{,}5207\% obtém-se V_{1}\approx 68{,}39\times 1{,}0052067\approx 68{,}75\\ \mathrm{m/s}.
A diferença é muito pequena numericamente (≈0{,}36\\ \mathrm{m/s}), compatível com a aproximação linear usada.