Questão 22 Expresse cada matriz como produto de matrizes elementares.
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]

Passo 1

No enunciado, queremos expressar a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
como produto de matrizes elementares. Como \det(A)=1\cdot4 - 2\cdot3 = -2 \neq 0, a matriz A é invertível e podemos usar operações elementares de linha para reduzi-la à identidade.

Passo 2

A primeira operação de linha é
R_2 \leftarrow R_2 - 3\,R_1,
que corresponde à matriz elementar
E_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Aplicando em A, temos
E_1\,A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] -3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora escalonamos a segunda linha para tornar o pivô igual a 1:
R_2 \leftarrow \bigl(-\tfrac12\bigr)\,R_2,
correspondendo à matriz elementar
E_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & -\tfrac12\end{pmatrix}.
Então
E_2\,(E_1A) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -\tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Por fim, eliminamos o termo acima do pivô na primeira linha:
R_1 \leftarrow R_1 - 2\,R_2,
que equivale à matriz elementar
E_3 = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
E_3\bigl(E_2(E_1A)\bigr) = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I.]

Passo 5

Como
E_3\,E_2\,E_1\,A = I,
segue que
A = E_1^{-1}\,E_2^{-1}\,E_3^{-1}.
As inversas são também matrizes elementares:
E_1^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 3 & 1\end{pmatrix},\quad E_2^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix},\quad E_3^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto, uma fatoração final é
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

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