Questão 22. Imaginemos que uma montadora de veículos queira comparar o desempenho de suas fábricas que produzem um modelo idêntico de automóvel. Elas são equiparadas com as mesmas máquinas, mas seus níveis de produção podem ser diferentes devido a níveis distintos de competência de gestão, qualidade de relações de trabalho, etc. A alta direção deseja saber se há diferença entre as fábricas. A produção é acompanhada durante 30 dias, escolhidas ao acaso, com os seguintes resultados:
Estatísticas Fábrica I Fábrica II
Produção diária média 420 408
Desvio-padrão da produção diária 25 20
Isso é evidência suficiente de que há uma diferença efetiva entre as fábricas, ou a diferença entre as amostras deve-se simplesmente a variações aleatórias, como simples quebra de máquinas? Teste uma hipótese com \alpha=0,05 e considere as variâncias populacionais iguais.

Passo 1

O enunciado nos dá duas amostras independentes de tamanho n_1=n_2=30, com médias amostrais \bar x_1=420 e \bar x_2=408, e desvios-padrão s_1=25 e s_2=20. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se há diferença entre as médias de produção das fábricas, supondo variâncias populacionais iguais. O conteúdo é o teste t para duas amostras independentes com variâncias iguais.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu_1=\mu_2 \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu_1\neq\mu_2.

Passo 3

Calculamos a variância agrupada pelo estimador de máxima verossimilhança:
s_p^2 =\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} =\frac{29\cdot25^2+29\cdot20^2}{58} =\frac{29\,(625+400)}{58} =512{,}5.

Passo 4

O desvio-padrão agrupado é
s_p=\sqrt{512{,}5}\approx22{,}64.

Passo 5

A estatística de teste é
t =\frac{\bar x_1-\bar x_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} =\frac{420-408}{22{,}64\sqrt{\tfrac{1}{30}+\tfrac{1}{30}}} \approx2{,}053.

Passo 6

O grau de liberdade é n_1+n_2-2=58. O valor crítico para o teste bilateral ao nível \alpha=0,05 é
t_{0,025;58}\approx2{,}001.
Como 2{,}053>2{,}001, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência significativa, ao nível \alpha=0,05, de diferença entre as médias de produção das fábricas.

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