Questão 22 (PROFMAT-MA12-AV2/2013). Penélope quer distribuir 6 presentes entre seus sobrinhos Alfredo, Bruno, Carlos e Daniel, de modo que cada um receba pelo menos um presente. Todos os presentes devem ser distribuídos.
Supondo que todos os presentes sejam iguais, de quantos modos ela pode distribuir os presentes?
Supondo que todos os presentes sejam iguais, de quantos modos ela pode distribuir os presentes?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
O enunciado nos dá:
-
presentes idênticos. - Quatro sobrinhos distintos: Alfredo, Bruno, Carlos e Daniel.
- Cada sobrinho deve receber pelo menos
presente. - Todos os presentes devem ser distribuídos.
A pergunta é: de quantos modos Penélope pode distribuir os
presentes sob essas condições?
Passo 2
Modelagem matemática do problema (sem ainda resolver): atribuímos a cada sobrinho o número de presentes que ele recebe.
Defina as variáveis
onde
é o número de presentes dados a Alfredo,
a Bruno,
a Carlos e
a Daniel. As condições do enunciado se traduzem nas restrições:
e
Passo 3
Transformação para facilitar a contagem (ideia: garantir a condição "pelo menos
" retirando
de cada variável).
Defina novas variáveis
Como cada
, temos
. Substituindo na soma,
portanto
com cada
sendo um inteiro não negativo.
Agora o problema é contar o número de soluções em inteiros não negativos de
Passo 4
Contagem das soluções não negativas: explicação do princípio “stars and bars” (contagem combinatória).
Princípio: o número de soluções inteiras não negativas da equação
é dado por
Intuição simples: representar os
unidades por
estrelas e usar
barras para separar as
caixas. Uma sequência de
estrelas e
barras tem comprimento
; escolher quais posições ocupam as barras (ou as estrelas) determina uma única distribuição.
No nosso caso
e
, logo o número de soluções é
Passo 5
Cálculo numérico do binomial de modo direto, sem calculadora.
Portanto há
soluções para a equação em
, e cada solução em
corresponde a uma solução em
. Logo há
formas de distribuir os presentes.
Passo 6
Verificação alternativa por contagem de casos (ajuda a fixar a ideia):
As partições possíveis de
em quatro inteiros positivos são, até ordenação:
-
: quem recebe o pode ser qualquer um dos sobrinhos distribuições. -
: escolher os sobrinhos que recebem presentes entre distribuições.
Somando, confirma o resultado anterior.