Questão 22 (PROFMAT-MA12-AV2/2013). Penélope quer distribuir 6 presentes entre seus sobrinhos Alfredo, Bruno, Carlos e Daniel, de modo que cada um receba pelo menos um presente. Todos os presentes devem ser distribuídos.
Supondo que todos os presentes sejam iguais, de quantos modos ela pode distribuir os presentes?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
O enunciado nos dá:
  • 6 presentes idênticos.
  • Quatro sobrinhos distintos: Alfredo, Bruno, Carlos e Daniel.
  • Cada sobrinho deve receber pelo menos 1 presente.
  • Todos os presentes devem ser distribuídos.
A pergunta é: de quantos modos Penélope pode distribuir os 6 presentes sob essas condições?

Passo 2

Modelagem matemática do problema (sem ainda resolver): atribuímos a cada sobrinho o número de presentes que ele recebe.
Defina as variáveis
x_A,\;x_B,\;x_C,\;x_D
onde x_A é o número de presentes dados a Alfredo, x_B a Bruno, x_C a Carlos e x_D a Daniel. As condições do enunciado se traduzem nas restrições:
x_A+x_B+x_C+x_D=6
e
x_A\ge1,\quad x_B\ge1,\quad x_C\ge1,\quad x_D\ge1.

Passo 3

Transformação para facilitar a contagem (ideia: garantir a condição "pelo menos 1" retirando 1 de cada variável).
Defina novas variáveis
y_A=x_A-1,\quad y_B=x_B-1,\quad y_C=x_C-1,\quad y_D=x_D-1.
Como cada x_i\ge1, temos y_i\ge0. Substituindo na soma,
(x_A-1)+(x_B-1)+(x_C-1)+(x_D-1)=6-4,
portanto
y_A+y_B+y_C+y_D=2,
com cada y_i sendo um inteiro não negativo.
Agora o problema é contar o número de soluções em inteiros não negativos de
y_A+y_B+y_C+y_D=2.

Passo 4

Contagem das soluções não negativas: explicação do princípio “stars and bars” (contagem combinatória).
Princípio: o número de soluções inteiras não negativas da equação
y_1+y_2+\dots+y_k = m
é dado por
\binom{m+k-1}{k-1}.
Intuição simples: representar os m unidades por m estrelas e usar k-1 barras para separar as k caixas. Uma sequência de m estrelas e k-1 barras tem comprimento m+k-1; escolher quais posições ocupam as barras (ou as estrelas) determina uma única distribuição.
No nosso caso m=2 e k=4, logo o número de soluções é
\binom{2+4-1}{4-1}=\binom{5}{3}.

Passo 5

Cálculo numérico do binomial de modo direto, sem calculadora.
\binom{5}{3}=\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Portanto há 10 soluções para a equação em y_i, e cada solução em y_i corresponde a uma solução em x_i. Logo há 10 formas de distribuir os presentes.

Passo 6

Verificação alternativa por contagem de casos (ajuda a fixar a ideia):
As partições possíveis de 6 em quatro inteiros positivos são, até ordenação:
  • 3+1+1+1: quem recebe o 3 pode ser qualquer um dos 4 sobrinhos \Rightarrow 4 distribuições.
  • 2+2+1+1: escolher os 2 sobrinhos que recebem 2 presentes entre 4 \Rightarrow \binom{4}{2}=6 distribuições.
    Somando 4+6=10, confirma o resultado anterior.

Resposta

10

Exercícios relacionados