Questão 24 (ENA-PROFMAT-2021). Quantos números de três algarismos possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números de três algarismos possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Números de três algarismos são os inteiros de
até . - Um número de três algarismos pode ser visto pelos dígitos
, onde é o algarismo das centenas ( ), é o das dezenas e o das unidades. - A condição “pelo menos dois dígitos consecutivos iguais” significa que vale
ou (ou ambos, no caso ). - O problema pede o número de tais números (um único valor inteiro).
Passo 2
Vamos primeiro contar quantos números de três algarismos existem no total, para ter um universo para comparar. Os números vão de
até
. O total é
Portanto existem
números de três algarismos no total.
Passo 3
Estratégia escolhida: usar contagem complementar (explicação didática). Em vez de contar diretamente todos os números que têm pelo menos uma dupla de dígitos consecutivos iguais, é frequentemente mais simples contar quantos números NÃO têm dígitos consecutivos iguais e subtrair esse total do total de
. Isto porque a condição “pelo menos” é o complemento da condição “nenhum par de dígitos consecutivos iguais”.
Passo 4
Agora contamos quantos números de três algarismos têm nenhum par de dígitos consecutivos iguais, ou seja, satisfazem
e
. Vamos construir tais números dígito a dígito e usar o Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto): se há
escolhas para o primeiro passo e, para cada escolha,
escolhas independentes para o segundo passo, então são
escolhas no total. Aqui as escolhas são:
- Escolher
(centena): pode ser qualquer algarismo de a . Logo há escolhas para . - Escolher
(dezena): pode ser qualquer algarismo de a exceto o valor de , para garantir . Logo há escolhas para . - Escolher
(unidade): pode ser qualquer algarismo de a exceto o valor de , para garantir . Logo há escolhas para .
Como as escolhas são sequenciais e o número de opções no terceiro passo depende apenas de
(e não de
diretamente), aplicamos o produto:
Passo 5
Calculemos o produto:
Portanto existem
números de três algarismos que NÃO têm dígitos consecutivos iguais.
Passo 6
Agora aplicamos a contagem complementar: o número de números com pelo menos dois dígitos consecutivos iguais é o total (
) menos os que não têm pares consecutivos iguais (
):
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para segurança): se quisermos contar diretamente por inclusão-exclusão, obteríamos o mesmo resultado. Mas como a contagem complementar foi direta e simples, ela já é suficiente e confere com a verificação mental de pequenos exemplos (por exemplo, entre
e
temos vários com
iguais etc.). Isso aumenta a confiança no resultado.