Questão 24 (ENA-PROFMAT-2021). Quantos números de três algarismos possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números de três algarismos possuem pelo menos dois dígitos consecutivos iguais. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Números de três algarismos são os inteiros de 100 até 999.
  • Um número de três algarismos pode ser visto pelos dígitos (A,B,C), onde A é o algarismo das centenas ( A\neq0), B é o das dezenas e C o das unidades.
  • A condição “pelo menos dois dígitos consecutivos iguais” significa que vale A=B ou B=C (ou ambos, no caso A=B=C).
  • O problema pede o número de tais números (um único valor inteiro).

Passo 2

Vamos primeiro contar quantos números de três algarismos existem no total, para ter um universo para comparar. Os números vão de 100 até 999. O total é
999-100+1=900.
Portanto existem 900 números de três algarismos no total.

Passo 3

Estratégia escolhida: usar contagem complementar (explicação didática). Em vez de contar diretamente todos os números que têm pelo menos uma dupla de dígitos consecutivos iguais, é frequentemente mais simples contar quantos números NÃO têm dígitos consecutivos iguais e subtrair esse total do total de 900. Isto porque a condição “pelo menos” é o complemento da condição “nenhum par de dígitos consecutivos iguais”.

Passo 4

Agora contamos quantos números de três algarismos têm nenhum par de dígitos consecutivos iguais, ou seja, satisfazem A\neq B e B\neq C. Vamos construir tais números dígito a dígito e usar o Princípio Fundamental da Contagem (regra do produto): se há m escolhas para o primeiro passo e, para cada escolha, n escolhas independentes para o segundo passo, então são m\cdot n escolhas no total. Aqui as escolhas são:
  • Escolher A (centena): pode ser qualquer algarismo de 1 a 9. Logo há 9 escolhas para A.
  • Escolher B (dezena): pode ser qualquer algarismo de 0 a 9 exceto o valor de A, para garantir A\neq B. Logo há 10-1=9 escolhas para B.
  • Escolher C (unidade): pode ser qualquer algarismo de 0 a 9 exceto o valor de B, para garantir B\neq C. Logo há 10-1=9 escolhas para C.
Como as escolhas são sequenciais e o número de opções no terceiro passo depende apenas de B (e não de A diretamente), aplicamos o produto:
\text{números sem dígitos consecutivos iguais} = 9\cdot 9\cdot 9.úí

Passo 5

Calculemos o produto:
9\cdot 9\cdot 9 = 81\cdot 9 = 729.
Portanto existem 729 números de três algarismos que NÃO têm dígitos consecutivos iguais.

Passo 6

Agora aplicamos a contagem complementar: o número de números com pelo menos dois dígitos consecutivos iguais é o total ( 900) menos os que não têm pares consecutivos iguais ( 729):
900-729 = 171.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para segurança): se quisermos contar diretamente por inclusão-exclusão, obteríamos o mesmo resultado. Mas como a contagem complementar foi direta e simples, ela já é suficiente e confere com a verificação mental de pequenos exemplos (por exemplo, entre 100 e 109 temos vários com B=C iguais etc.). Isso aumenta a confiança no resultado.

Resposta

171

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