Questão 20 (PROFMAT-MA12-AV3/2015). Uma loja vende bombons de 7 sabores: avelã, chocolate branco, chocolate preto, coco, menta, morango e nozes. Eles são vendidos em caixas com 12 unidades.
a) Supondo que seja possível o cliente escolher o sabor de cada uma das 12 unidades, quantas são as escolhas possíveis para uma caixa?
b) Se um cliente quiser colocar na caixa pelo menos um bombom de cada sabor, quantas são as escolhas possíveis?
c) Se um cliente quiser comprar uma caixa com pelo menos três e no máximo cinco bombons de avelã quantas são as escolhas possíveis? (Não é necessário que haja todos os tipos nas caixas).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • 7 sabores de bombom: avelã, chocolate branco, chocolate preto, coco, menta, morango e nozes.
  • Cada caixa contém 12 unidades.
    As perguntas são:
    (a) Supondo que o cliente possa escolher o sabor de cada uma das 12 unidades, quantas escolhas possíveis existem para uma caixa?
    (b) Quantas escolhas se o cliente quiser colocar na caixa pelo menos um bombom de cada sabor?
    (c) Quantas escolhas se o cliente quiser entre três e cinco bombons de avelã (inclusive)? (Não é exigido que todos os sabores apareçam.)

Passo 2

Escolha do modelo e ideia geral (explicação didática): existem duas interpretações possíveis que aparecem com frequência em exercícios assim:
  • Interpretação A (ordem importa / unidades identificáveis): cada uma das 12 posições da caixa é escolhida independentemente — então contaríamos sequências de comprimento 12 sobre um alfabeto de 7 sabores (isso daria 7^{12} possibilidades).
  • Interpretação B (ordem não importa / apenas as quantidades importam): só interessa quantos bombons de cada sabor aparecem na caixa, não a posição deles; então contamos soluções inteiras não-negativas para x_1+\cdots+x_7=12, onde x_i é o número de bombons do sabor i. Para muitas questões de caixa de bombons a interpretação mais natural é a B, porque caixas são objetos onde a ordem dos bombons não costuma importar.
Vou usar a interpretação B (modo “combinações com repetição” / “stars and bars”), pois é a mais clássica aqui e é o método mais básico e direto para perguntas com restrições do tipo “pelo menos” / “no máximo”. Se fosse necessário a interpretação A, eu teria usado princípios de contagem simples e, no item (c), a fórmula com binômios (escolher posições para avelã etc.). Agora explico a ferramenta que vou empregar.
Ferramenta: combinação com repetição (stars and bars)
  • Problema típico: quantas soluções em inteiros não-negativos existem para
x_1+x_2+\cdots+x_n = k ?
Resposta clássica: há
\binom{n+k-1}{k}
soluções. Intuição e derivação rápida: pense em k objetos idênticos (bombons) em fila; para separar em n caixas (sabores) colocam-se n-1 “barras” entre eles. O número total de símbolos é k+(n-1) e escolhemos quais k desses símbolos são os objetos (ou alternativamente quais n-1 são barras), daí o binomial acima. Vou aplicar isso nos itens.

Passo 3

Parte (a) — sem restrição extra (apenas escolher quantidades de cada sabor).
Modelagem: número de soluções inteiras não-negativas de
x_1+x_2+\cdots+x_7 = 12.
Pelo resultado de combinação com repetição, o total é
\binom{7+12-1}{12}=\binom{18}{12}.
Usando a simetria do binomial \binom{18}{12}=\binom{18}{6} e calculando:
\binom{18}{6}=\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{6!} =\frac{13\,366\,080}{720}=18\,564.
Portanto o número de escolhas possíveis (interpretação B) é 18\,564.

Passo 4

Parte (b) — pelo menos um bombom de cada sabor.
Modelagem: agora cada x_i\ge 1 e
x_1+x_2+\cdots+x_7=12.
Substituição padrão: defina y_i=x_i-1, então y_i\ge 0 e
y_1+\cdots+y_7 = 12-7 = 5.
Aplicando combinação com repetição ao vetor y com n=7 e k=5, o número de soluções é
\binom{7+5-1}{5}=\binom{11}{5}=\binom{11}{6}.
Calculemos:
\binom{11}{6}=\frac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{5!}=\frac{55\,440}{120}=462.
Logo existem 462 escolhas possíveis com pelo menos um de cada sabor.

Passo 5

Parte (c) — entre três e cinco bombons de avelã (inclusive); não é exigido que haja todos os tipos.
Modelagem: seja t o número de bombons de avelã. As restrições dizem t\in\{3,4,5\}. Para um dado t, o restante dos bombons ( 12-t) deve ser distribuído entre os outros 6 sabores, com quantidades não-negativas. Pelo princípio de stars and bars, para um fixo t
\binom{(12-t)+6-1}{6-1}=\binom{17-t}{5}
maneiras de distribuir os restantes. Então somamos para t=3,4,5:
\sum_{t=3}^{5} \binom{17-t}{5} = \binom{14}{5}+\binom{13}{5}+\binom{12}{5}.
Calculando cada termo:
\binom{14}{5}=2002,\qquad \binom{13}{5}=1287,\qquad \binom{12}{5}=792.
Somando:
2002+1287+792 = 4\,081.
Portanto há 4\,081 escolhas possíveis que têm entre 3 e 5 bombons de avelã.

Resposta

(a) \binom{18}{6}=18\,564
(b) \binom{11}{6}=462
(c) \binom{14}{5}+\binom{13}{5}+\binom{12}{5}=4\,081

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