Questão 22. Seja A=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), o conjunto das matrizes 2 \times 2 com entradas reais. Sabemos que A com as operações usuais de soma e produto de matrizes é um anel com identidade 1_{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]. Mostre que B=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] \in A \right\rvert\, a \in \mathbb{R}\right\} é um subanel de A com identidade 1_{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]. Além disso, mostre (com um exemplo) que um subanel de um anel com identidade não possui necessariamente identidade.

Passo 1

O enunciado considera o anel comutativo A = M_{2\times2}(\mathbb{R}) com a identidade usual
1_A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
e define
B = \left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} : a \in \mathbb{R}\right\}.
Queremos mostrar que B é um subanel de A que possui identidade própria
1_B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
e então dar um exemplo de subanel de um anel com identidade que não tem identidade.

Passo 2

Mostramos primeiro que B é subgrupo aditivo de A.
  1. O elemento neutro de adição em A é a matriz zero
0_A = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
que está em B (tomando a=0).
2. Sejam \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}b&0\\\ 0&0\end{pmatrix} em B.
Então
X + Y = \begin{pmatrix}a+b & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
que ainda tem a forma \begin{pmatrix}c&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, logo está em B.
3. O inverso aditivo de \displaystyle X é \displaystyle -X=\begin{pmatrix}-a&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, que também pertence a B.
Portanto B é subgrupo aditivo de A.

Passo 3

Agora verificamos que B é fechado sob multiplicação, o que garante que é subanel.
Se \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}b&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, então
X\,Y = \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ab&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
que ainda está na forma \begin{pmatrix}c&0\\\ 0&0\end{pmatrix}. Logo B é fechado para o produto.

Passo 4

Observe que a matriz
1_B = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
satisfaz, para todo \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in B,
os produtos
1_B\,X = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
X\,1_B = \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Portanto 1_B é a identidade multiplicativa de B. Note que 1_B\neq1_A, mas isso não impede B de ter sua própria identidade.

Passo 5

Para ilustrar que nem todo subanel de um anel com identidade herda necessariamente identidade, considere o anel \mathbb{Z} com sua identidade 1. O conjunto
2\mathbb{Z} = \{\,2n : n\in\mathbb{Z}\}
é subanel de \mathbb{Z} (fecha-se em soma, inverso e produto). Se existisse um e\in2\mathbb{Z} que fosse identidade, deveríamos ter
e\cdot 2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad e = 1,
mas 1\notin2\mathbb{Z}. Logo 2\mathbb{Z} não possui identidade multiplicativa.

Resposta

B é subanel de A e sua identidade é
1_B = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Como exemplo de subanel sem identidade, basta tomar 2\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}, que não contém um elemento neutro multiplicativo.

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