Questão 24. Mostre que todo corpo é um domínio.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que todo corpo é um domínio de integridade. Vamos revisar as definições que usaremos.
Um corpo é um anel comutativo (R,+,\cdot) com elemento neutro multiplicativo 1\neq0 em que todo elemento não nulo possui inverso multiplicativo.
Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não admite divisores de zero; isto é, satisfaz a condição
\forall a,b\in R,\quad ab=0\implies a=0\text{ ou }b=0.

Passo 2

Seja R um corpo. Tomemos a,b\in R tais que
ab=0.
Queremos mostrar que a=0 ou b=0. Se a=0, já está satisfeito. Caso contrário, a\neq0 e, por ser corpo, existe o inverso a^{-1} em R. Multiplicando a equação ab=0 pela direita por a^{-1}, obtemos
(ab)a^{-1}=0\cdot a^{-1}\quad\Longrightarrow\quad a(ba^{-1})=0\quad\Longrightarrow\quad b(a\,a^{-1})=0\quad\Longrightarrow\quad b\cdot1=0\quad\Longrightarrow\quad b=0.

Passo 3

Acabamos de ver que, sempre que ab=0 em R, deve ocorrer a=0 ou b=0. Logo, R não possui divisores de zero.

Resposta

Concluímos que todo corpo é um domínio de integridade.

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