Questão 22. Seja A=M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), o conjunto das matrizes 2 \times 2 com entradas reais. Sabemos que A com as operações usuais de soma e produto de matrizes é um anel com identidade 1_{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]. Mostre que B=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll}a & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right] \in A \right\rvert\, a \in \mathbb{R}\right\} é um subanel de A com identidade 1_{B}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right]. Além disso, mostre (com um exemplo) que um subanel de um anel com identidade não possui necessariamente identidade.
Passo 1
O enunciado considera o anel comutativo A = M_{2\times2}(\mathbb{R}) com a identidade usual
que está em B (tomando a=0).
2. Sejam \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}b&0\\\ 0&0\end{pmatrix} em B.
Então
X + Y = \begin{pmatrix}a+b & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
que ainda tem a forma \begin{pmatrix}c&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, logo está em B.
3. O inverso aditivo de \displaystyle X é \displaystyle -X=\begin{pmatrix}-a&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, que também pertence a B.
Portanto B é subgrupo aditivo de A.
Passo 3
Agora verificamos que B é fechado sob multiplicação, o que garante que é subanel.
Se \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&0\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}b&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, então
Portanto 1_B é a identidade multiplicativa de B. Note que 1_B\neq1_A, mas isso não impede B de ter sua própria identidade.
Passo 5
Para ilustrar que nem todo subanel de um anel com identidade herda necessariamente identidade, considere o anel \mathbb{Z} com sua identidade 1. O conjunto
2\mathbb{Z} = \{\,2n : n\in\mathbb{Z}\}
é subanel de \mathbb{Z} (fecha-se em soma, inverso e produto). Se existisse um e\in2\mathbb{Z} que fosse identidade, deveríamos ter
e\cdot 2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad e = 1,
mas 1\notin2\mathbb{Z}. Logo 2\mathbb{Z} não possui identidade multiplicativa.
Resposta
B é subanel de A e sua identidade é
1_B = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}.
Como exemplo de subanel sem identidade, basta tomar 2\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}, que não contém um elemento neutro multiplicativo.