Questão 22. Verifique que as equações abaixo são equações diferenciais exatas e resolva cada equaçào.
(\cos y+y \cos x) d x+(\sin x-x \sin y) d y=0.
(\cos y+y \cos x) d x+(\sin x-x \sin y) d y=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede que verifiquemos que ela é exata e, em seguida, a resolvamos. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas; vamos precisar checar a exatidão calculando
e
e depois encontrar a função potencial
cuja diferencial total seja
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para obter
, integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função só de
.
Passo 4
Agora impomos que
. Calculamos
e exigimos
Daí vem
, logo
é constante.
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante de integração.