Questão 23 Se
são números naturais e
, mostre que
ou
.
Passo 1
O enunciado dá que
são números naturais e que
. A pergunta é: provar que
ou
. Vou listar claramente as informações que temos:
-
e . -
.
Passo 2
Primeiro, convém lembrar (ou assumir) a definição de números naturais que vou usar:
. Ou seja, todo natural é um inteiro não negativo, então
e
. Essa propriedade simples será usada várias vezes.
Passo 3
Façamos uma análise por casos simples — essa abordagem é ótima em provas quando o número de possibilidades é pequeno.
Caso 1: se
.
Então, pela igualdade , obtemos
, logo
. Nesse caso já temos que
, e a afirmação é verdadeira.
Então, pela igualdade
Passo 4
Caso 2: se
.
Como é natural e
, existe
tal que
(basta escrever
como
mais o resto). Substituindo em
vem
Como
ou seja
Agora use a propriedade dos naturais:
e
. A única maneira de dois números naturais somarem zero é que ambos sejam zero. (Se um deles fosse pelo menos
, a soma seria
.) Portanto
e
. Como
e
, segue
. Nesse caso obtemos
.
Passo 5
Reunindo os casos: ou
(e então
), ou
(e então, como vimos,
). Em qualquer situação, pelo menos um dos dois é igual a
. Isso prova que
ou
.