Questão 23 Se a, b são números naturais e a+b=1, mostre que a=1 ou b=1.

Passo 1

O enunciado dá que a,b são números naturais e que a+b=1. A pergunta é: provar que a=1 ou b=1. Vou listar claramente as informações que temos:
  • a\in\mathbb{N} e b\in\mathbb{N}.
  • a+b=1.

Passo 2

Primeiro, convém lembrar (ou assumir) a definição de números naturais que vou usar: \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. Ou seja, todo natural é um inteiro não negativo, então a\ge 0 e b\ge 0. Essa propriedade simples será usada várias vezes.

Passo 3

Façamos uma análise por casos simples — essa abordagem é ótima em provas quando o número de possibilidades é pequeno.
Caso 1: se a=0.
Então, pela igualdade a+b=1, obtemos 0+b=1, logo b=1. Nesse caso já temos que b=1, e a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Caso 2: se a>0.
Como a é natural e a>0, existe k\in\mathbb{N} tal que a=1+k (basta escrever a como 1 mais o resto). Substituindo em a+b=1 vem
(1+k)+b=1,
ou seja
k+b=0.
Agora use a propriedade dos naturais: k\ge 0 e b\ge 0. A única maneira de dois números naturais somarem zero é que ambos sejam zero. (Se um deles fosse pelo menos 1, a soma seria \ge 1.) Portanto k=0 e b=0. Como k=0 e a=1+k, segue a=1. Nesse caso obtemos a=1.

Passo 5

Reunindo os casos: ou a=0 (e então b=1), ou a>0 (e então, como vimos, a=1). Em qualquer situação, pelo menos um dos dois é igual a 1. Isso prova que a=1 ou b=1.

Resposta

a=1 ou b=1

Exercícios relacionados