Questão 19 Mostre que, em \mathbb{N}, vale a propriedade da Tricotomia:
Para quaisquer a, b \in \mathbb{N}, uma e apenas uma, das relações ocorre:
a<b \quad \text { ou } \quad a=b \quad \text { ou } \quad a>b .

Passo 1

O enunciado pede que se mostre a propriedade da tricotomia em \mathbb{N}: para quaisquer a,b\in\mathbb{N}, acontece uma e apenas uma das três relações
a<b \quad\text{ou}\quad a=b \quad\text{ou}\quad a>b.
As informações que temos são apenas que a e b são números naturais e que queremos provar existência (pelo menos uma das três ocorre) e unicidade (não podem ocorrer duas ou mais simultaneamente).

Passo 2

Primeiro vamos fixar a definição de ordem que vamos usar (essa é a forma padrão quando os naturais vêm das axiomas de Peano e da adição):
  • Definição: dizemos que a\le b se existe c\in\mathbb{N} tal que a+c=b.
  • Definição: dizemos que a<b se existe c\in\mathbb{N} com c\neq0 e a+c=b. (Isto é, a<b significa a\le b e a\neq b.)
  • Dizemos que a>b quando b<a.
Explicando devagar: a ideia é que a\le b quando somando algo a a obtém-se b. Se esse “algo” for 0 então a=b; se for um natural positivo então a<b. Essa é uma forma concreta de transformar a noção intuitiva de “menor” em termos da adição em \mathbb{N}.

Passo 3

Antes de provar a tricotomia, comprovamos duas propriedades simples que serão usadas várias vezes.
Lema 1. Se x+y=0 então x=0 e y=0.
Prova do lema 1 (rápida): 0 é o elemento neutro da adição e não tem antecessor (pela construção de \mathbb{N} via Peano). Se algum dos somandos fosse não nulo (isto é, sucessor de algo), então a soma seria sucessor de alguma coisa e não poderia ser 0. Logo ambos têm de ser 0.
Lema 2 (cancelamento à direita). Se x+z=y+z então x=y.
Prova do lema 2 (esboço elementar por indução em z):
  • Base z=0: x+0=y+0 x=y porque x+0=x.
  • Passo indutivo: suponha verdade para z. Se x+S(z)=y+S(z) (onde S(z) é o sucessor de z), então S(x+z)=S(y+z). Como sucessor é injetor (sucessores distintos são distintos), obtém-se x+z=y+z e pela hipótese indutiva x=y.
    Assim o cancelamento é válido.
Esses lemas são naturais usando axiomas de Peano e propriedades básicas da adição; eles nos permitem evitar contradições do tipo "algo positivo soma para 0".

Passo 4

Agora mostramos que duas das relações não podem ocorrer simultaneamente (unicidade). Mostramos as três impossibilidades em pares:
(i) Não podem ocorrer simultaneamente a<b e a=b.
Porque a<b implica, pela definição, a\neq b. Logo a=b é impossível junto com a<b.
(ii) Não podem ocorrer simultaneamente a<b e a>b.
Suponha, para contradizer, que a<b e a>b. Então existem m,n\in\mathbb{N} com m\neq0, n\neq0, tais que
a+m=b \quad\text{e}\quad b+n=a.
Substituindo a segunda na primeira:
a+m = b = a-n,
ou melhor somando n aos dois lados da primeira igualdade seguida da segunda, obtemos
a+m+n=a.
Então m+n=0. Mas m\neq0 e n\neq0 implicam m+n\neq0, em contradição com o Lema 1. Portanto não é possível ter ao mesmo tempo a<b e a>b.
(iii) Não podem ocorrer simultaneamente a=b e a>b.
Idêntico a (i): a>b implica a\neq b, logo não pode ser que a=b.
Com (i)–(iii) concluímos que, se duas das relações ocorressem juntas, haveria contradição; portanto, no máximo uma das três pode ocorrer.

Passo 5

Agora provamos que sempre ocorre pelo menos uma das relações (existência). Faremos isso por indução no segundo parâmetro b. A ideia é: para cada b fixo, mostrar que para todo a uma das três se verifica; isso é natural por indução em b.
Base da indução: b=0. Seja a\in\mathbb{N}.
  • Se a=0 então a=b.
  • Se a\neq0 então a é sucessor de algum c, ou seja existe k\in\mathbb{N} com k\neq0 e 0+k=a. Isso implica a>0 (pela definição), ou seja a>b.
    Não existe a possibilidade a<0, porque a<0 significaria existir k\neq0 com a+k=0, o que é impossível pelo Lema 1. Assim para b=0 sempre ocorre uma das três relações.

Passo 6

Passo indutivo. Suponha que para um dado b\in\mathbb{N} a propriedade seja verdadeira: para todo a\in\mathbb{N} vale uma e apenas uma de a<b, a=b, a>b. Vamos provar que a propriedade vale para b':=b+1.
Tome um a arbitrário. Pelo passo indutivo, aplicado a b, uma e apenas uma das seguintes alternativas ocorre:
\text{(A)}\quad a<b,\qquad \text{(B)}\quad a=b,\qquad \text{\text{(C)}}\quad a>b.
Analisemos cada caso e traduzamos para relação com b+1.
  • Caso (A): se a<b então existe k\neq0 com a+k=b. Então
a+(k+1)=b+1,
e como k+1\neq0 segue que a<b+1.
  • Caso (B): se a=b então
a+1=b+1,
com 1\neq0, logo existe um natural não nulo (escolhemos 1) tal que a+1=b+1. Pela definição, isso significa a<b+1.
  • Caso (C): se a>b então existe k\neq0 com b+k=a. Se k=1 então a=b+1 e estamos no caso de igualdade com b+1. Se k\ge2, escrevendo k=1+(k-1) vemos que
b+1 + (k-1) = a
com k-1\neq0, logo b+1 < a, isto é a>b+1.
Assim, em cada um dos três cenários para comparação com b obtemos uma e apenas uma das relações em relação a b+1: ou a<b+1, ou a=b+1, ou a>b+1. Além disso, pela unicidade já provada no Passo 4, essas três são mutuamente exclusivas. Portanto, para todo a vale uma e apenas uma das relações em relação a b+1.
Isso completa o passo indutivo.

Passo 7

Concluindo por indução em b: a propriedade vale para b=0 e se vale para b vale para b+1; portanto vale para todo b\in\mathbb{N} e para todo a\in\mathbb{N}. Juntando os resultados de existência (sempre ocorre alguma das três) e unicidade (não podem ocorrer duas), obtemos exatamente a tricotomia:
Para quaisquer a,b\in\mathbb{N}, ocorre uma e apenas uma das relações a<b, a=b ou a>b.

Resposta

Para quaisquer a,b\in\mathbb{N}, uma e apenas uma das relações ocorre:
a<b \quad \text{ou} \quad a=b \quad \text{ou} \quad a>b.

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