Questão 25 Se a e
são números naturais e se
, mostre que
ou
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números naturais e que
. A pergunta é: mostrar que
ou
. Vou primeiro deixar claro o que se entende por “números naturais” aqui: assumimos que números naturais são os inteiros positivos
. (Se alguém usasse a convenção que inclui
, isso não muda o argumento principal porque
.)
Passo 2
Estratégia rápida e intuitiva: se ambos
e
fossem maiores ou iguais a
, então o produto seria pelo menos
, que é maior que
. Como o produto dado é exatamente
, isso não pode acontecer. Portanto pelo menos um dos dois deve ser
. Vou desenvolver isso passo a passo, explicando por que cada afirmação é válida.
Passo 3
Considere a hipótese contrária: suponha que nenhum dos dois seja
. Como
e
são naturais positivos, isso significa que
e
. Aqui usei a propriedade óbvia dos naturais: o menor natural positivo é
; se não é
, então é pelo menos
.
Passo 4
Multiplicando as desigualdades
e
obtemos
. A multiplicação de desigualdades por números positivos preserva a desigualdade, então esse passo é rigoroso.
Passo 5
Mas isso contradiz a informação do enunciado de que
, porque não pode ser ao mesmo tempo
e igual a
. Logo a hipótese de que nenhum dos dois é
é falsa.
Passo 6
Portanto, concluímos que pelo menos um entre
e
é igual a
. Como
, se, por exemplo,
então
; se
então
. Ou seja, os pares possíveis são
e
.
Passo 7
Observação alternativa (mais “teórica”): como
é primo, seus únicos divisores naturais são
e
. Se
divide
então
; portanto ou
ou
. O mesmo vale para
. Isso dá a mesma conclusão: um dos dois é
(e o outro é
).