Questão 25 Se a e b são números naturais e se a \cdot b=3, mostre que a=1 ou b=1.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números naturais e que a\cdot b=3. A pergunta é: mostrar que a=1 ou b=1. Vou primeiro deixar claro o que se entende por “números naturais” aqui: assumimos que números naturais são os inteiros positivos \,1,2,3,\dots. (Se alguém usasse a convenção que inclui 0, isso não muda o argumento principal porque 0\cdot x=0\neq3.)

Passo 2

Estratégia rápida e intuitiva: se ambos a e b fossem maiores ou iguais a 2, então o produto seria pelo menos 2\cdot2=4, que é maior que 3. Como o produto dado é exatamente 3, isso não pode acontecer. Portanto pelo menos um dos dois deve ser 1. Vou desenvolver isso passo a passo, explicando por que cada afirmação é válida.

Passo 3

Considere a hipótese contrária: suponha que nenhum dos dois seja 1. Como a e b são naturais positivos, isso significa que a\ge 2 e b\ge 2. Aqui usei a propriedade óbvia dos naturais: o menor natural positivo é 1; se não é 1, então é pelo menos 2.

Passo 4

Multiplicando as desigualdades a\ge 2 e b\ge 2 obtemos a\cdot b \ge 2\cdot 2 = 4. A multiplicação de desigualdades por números positivos preserva a desigualdade, então esse passo é rigoroso.

Passo 5

Mas isso contradiz a informação do enunciado de que a\cdot b = 3, porque não pode ser ao mesmo tempo \ge 4 e igual a 3. Logo a hipótese de que nenhum dos dois é 1 é falsa.

Passo 6

Portanto, concluímos que pelo menos um entre a e b é igual a 1. Como a\cdot b=3, se, por exemplo, a=1 então b=3; se b=1 então a=3. Ou seja, os pares possíveis são (1,3) e (3,1).

Passo 7

Observação alternativa (mais “teórica”): como 3 é primo, seus únicos divisores naturais são 1 e 3. Se a divide 3 então a\in\{1,3\}; portanto ou a=1 ou a=3. O mesmo vale para b. Isso dá a mesma conclusão: um dos dois é 1 (e o outro é 3).

Resposta

a=1 ou b=1

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