QUESTÃO 23

Em um campo de futebol de dimensões 100 m por 45 m , foi fixado seis esguichos que conseguem molhar uma área circular com alcance de um raio de 10 m . Sabendo que os esguichos serão colocados de modo que não passa as linhas laterais e as linhas de fundo do campo e sem permitir que a mesma parte do campo seja molhada duas vezes. Qual a área aproximada do campo que não será molhada? (use \pi=3 )
(A) 4500 \mathrm{~m}^{2}
(B) 1800 \mathrm{~m}^{2}
(C) 2700 \mathrm{~m}^{2}
(D) 2300 \mathrm{~m}^{2}
(E) 2000 \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área do campo que NÃO será molhada. Dados fornecidos (vou listar tudo que importa):
  • Dimensões do campo: comprimento 100 m e largura 45 m.
  • Foram fixados 6 esguichos.
  • Cada esguicho molha uma área circular de raio 10 m.
  • Os círculos serão colocados de modo que nenhuma parte do campo fique molhada duas vezes (ou seja, as áreas circulares não se sobrepõem).
  • Os círculos não passam das linhas laterais nem das linhas de fundo (cada círculo está inteiramente dentro do retângulo).
  • Use \pi=3.

Passo 2

Calcular a área total do campo (retângulo). A fórmula da área de um retângulo é:
A_{\text{campo}} = \text{comprimento} \times \text{largura}.
Aqui, comprimento =100 e largura =45. Então
A_{\text{campo}} = 100 \times 45.
Vou fazer a conta devagar: 100\times45 = 100\times(40+5)=4000+500=4500. Portanto
A_{\text{campo}} = 4500\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Calcular a área molhada por um único esguicho. A fórmula da área de um círculo é
A_{\text{círculo}} = \pi r^2,í
onde r é o raio do círculo. Aqui r=10 m e \pi deve ser tomado como 3. Então
A_{\text{círculo}} = 3 \times 10^2.í
Calcule passo a passo: 10^2 = 100, então 3\times100 = 300. Logo
A_{\text{círculo}} = 300\\ \mathrm{m}^2.í
Explicação curta: isso significa que cada esguicho molha 300 metros quadrados.

Passo 4

Como as áreas molhadas não se sobrepõem e cada esguicho molha exatamente 300\\ \mathrm{m}^2, a área molhada total pelos 6 esguichos é
A_{\text{molhada total}} = 6 \times A_{\text{círculo}} = 6 \times 300.í
Calcule: 6\times300 = 1800. Portanto
A_{\text{molhada total}} = 1800\\ \mathrm{m}^2.

Passo 5

Para encontrar a área que não será molhada, subtraímos a área molhada total da área do campo, pois os círculos estão inteiros dentro do campo e não se sobrepõem (condições do enunciado garantem que essa subtração é válida):
A_{\text{não molhada}} = A_{\text{campo}} - A_{\text{molhada total}}.ã
Substituindo os valores que achamos:
A_{\text{não molhada}} = 4500 - 1800.ã
Calcule: 4500-1800 = 2700.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o enunciado permitiu que os círculos ficassem inteiramente dentro do campo e que não se sobrepusessem, então não é preciso ajustar por interseções nem por partes fora do retângulo. Assim o resultado 2700\\ \mathrm{m}^2 é consistente.

Resposta

C) 2700\\ \mathrm{m}^2

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