Questão 23. (IME) Um homem nascido no século XX diz a seguinte frase para o filho: "seu avô paterno, que nasceu trinta anos antes de mim, tinha
anos no ano
. Em consequência, conclui-se que o avô paterno nasceu no ano de:
a) 1892
b) 1898
c) 1900
d) 1936
a) 1892
b) 1898
c) 1900
d) 1936
Passo 1
O enunciado diz:
- Um homem nasceu no século XX.
- O avô paterno desse homem nasceu
anos antes dele. - Esse avô tinha
anos no ano .
O que se pede: determinar em que ano o avô paterno nasceu (escolher entre as alternativas fornecidas: a), b) , c) , d) ).
Passo 2
Vamos traduzir as informações em variáveis claras (isso é importante para não se perder):
- Seja
o ano de nascimento do homem. - Seja
o ano de nascimento do avô paterno.
Pelo enunciado, sabemos que
Além disso, o avô tinha
anos no ano
. Isso significa que a idade do avô em um ano qualquer é o ano menos o ano de nascimento. Então, no ano
, a idade do avô é
Como essa idade é exatamente
, obtemos uma equação que relaciona
e
.
Passo 3
Escrevendo a igualdade acima:
Agora isolamos
:
Interpretação: o ano de nascimento do avô deve ser igual a
. Ou seja, precisamos achar um inteiro
tal que
seja igual a uma das alternativas dadas.
Passo 4
Uma forma sistemática de verificar se uma dada alternativa
é possível é notar que a equação em
é
Isso é uma equação quadrática em
. A solução para
seria
Para que
seja inteiro (e positivo, pois representa idade), o discriminante
precisa ser um quadrado perfeito, e a expressão
deve ser um inteiro positivo.
Passo 5
Agora testamos cada alternativa calculando
e verificando se é quadrado perfeito.
a) Para
:
Observe que
. Então
Isso é um inteiro positivo. Verificação extra:
e a idade do avô em
seria
, consistente.
b) Para
:
c) Para
:
d) Para
:
Portanto, a única alternativa que fornece um
inteiro positivo é a alternativa (a), com
e
.
Passo 6
Só para garantir coerência com a informação de que o homem nasceu no século XX: se o avô nasceu em
, então o homem nasceu em
que é de fato no século XX. Assim tudo bate.
Resposta
a) 1892