Questão 23. (IME) Um homem nascido no século XX diz a seguinte frase para o filho: "seu avô paterno, que nasceu trinta anos antes de mim, tinha x anos no ano x^{2 "}. Em consequência, conclui-se que o avô paterno nasceu no ano de:
a) 1892
b) 1898
c) 1900
d) 1936

Passo 1

O enunciado diz:
  • Um homem nasceu no século XX.
  • O avô paterno desse homem nasceu 30 anos antes dele.
  • Esse avô tinha x anos no ano x^{2}.
    O que se pede: determinar em que ano o avô paterno nasceu (escolher entre as alternativas fornecidas: a) 1892, b) 1898, c) 1900, d) 1936).

Passo 2

Vamos traduzir as informações em variáveis claras (isso é importante para não se perder):
  • Seja M o ano de nascimento do homem.
  • Seja G o ano de nascimento do avô paterno.
    Pelo enunciado, sabemos que
G = M - 30.
Além disso, o avô tinha x anos no ano x^{2}. Isso significa que a idade do avô em um ano qualquer é o ano menos o ano de nascimento. Então, no ano x^{2}, a idade do avô é
\text{idade} = x^{2} - G.
Como essa idade é exatamente x, obtemos uma equação que relaciona x e G.

Passo 3

Escrevendo a igualdade acima:
x = x^{2} - G.
Agora isolamos G:
G = x^{2} - x.
Interpretação: o ano de nascimento do avô deve ser igual a x(x-1). Ou seja, precisamos achar um inteiro x tal que x(x-1) seja igual a uma das alternativas dadas.

Passo 4

Uma forma sistemática de verificar se uma dada alternativa G é possível é notar que a equação em x é
x^{2} - x - G = 0.
Isso é uma equação quadrática em x. A solução para x seria
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4G}}{2}.
Para que x seja inteiro (e positivo, pois representa idade), o discriminante
\Delta = 1 + 4G
precisa ser um quadrado perfeito, e a expressão \frac{1 + \sqrt{\Delta}}{2} deve ser um inteiro positivo.

Passo 5

Agora testamos cada alternativa calculando \Delta = 1 + 4G e verificando se é quadrado perfeito.
a) Para G=1892:
\Delta = 1 + 4\cdot 1892 = 1 + 7568 = 7569.
Observe que 7569 = 87^{2}. Então
x = \frac{1 + 87}{2} = \frac{88}{2} = 44.
Isso é um inteiro positivo. Verificação extra: x^{2}=44^{2}=1936 e a idade do avô em 1936 seria 1936 - 1892 = 44, consistente.
b) Para G=1898:
\Delta = 1 + 4\cdot 1898 = 1 + 7592 = 7593.
7593 não é um quadrado perfeito (entre 87^{2}=7569 e 88^{2}=7744), logo não dá x inteiro.
c) Para G=1900:
\Delta = 1 + 4\cdot 1900 = 1 + 7600 = 7601.
7601 também não é quadrado perfeito (novamente entre 87^{2} e 88^{2}), então não serve.
d) Para G=1936:
\Delta = 1 + 4\cdot 1936 = 1 + 7744 = 7745.
7745 não é quadrado perfeito (menor que 88^{2}=7744 — na verdade é maior, mas não quadrado), portanto não serve.
Portanto, a única alternativa que fornece um x inteiro positivo é a alternativa (a), com x=44 e G=1892.

Passo 6

Só para garantir coerência com a informação de que o homem nasceu no século XX: se o avô nasceu em G=1892, então o homem nasceu em
M = G + 30 = 1892 + 30 = 1922,
que é de fato no século XX. Assim tudo bate.

Resposta

a) 1892

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