Questão 27. O valor da expressão
, para
é igual a:
a)
b)
c)
d) 0
a)
b)
c)
d) 0
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão
para
Informações relevantes dadas:
- Há dois números em forma decimal periódica:
e . - Aparecem potências inteiras como
, , e um expoente negativo . - Aparece uma potência negativa em
. - O valor final de
será a raiz quadrada (expoente ) de uma soma; depois precisamos calcular .
Passo 2
Converter as decimais periódicas em frações (isso simplifica muuuito as contas).
- Para
(onde só o algarismo 6 se repete): seja . Então . Subtraindo,
Portanto
. Escrevendo em fração comum:
, então
Logo
.
- Para
(repetição do 3): é o clássico . Isso pode ser visto por .
Passo 3
Avaliar o numerador interno que aparece multiplicado por
.
Calcule passo a passo:
Calcule passo a passo:
-
. -
. -
. - Somando:
. - E
. Então a parte do numerador vale
Passo 4
Avaliar o denominador interno
.
- Usamos
do passo 2. - Para potência negativa:
. (Lembrete: , então inverter e elevar.) - Multiplicando por
dá .
Portanto o denominador é.
Passo 5
Calcular a fração inteira que aparece dentro de
:
Simplificando
. Dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Agora substituímos as frações já encontradas dentro de
:
- Do passo 2 temos
. - Do passo 5 a fração vale
.
Somando dentro da raiz:
Portanto
(Escolhemos a raiz quadrada principal, positiva, porque a notação
usualmente indica a raiz positiva.)
Passo 7
Calcular
usando
.
- Primeiro
porque e multiplicando por mais um dá . - Então
.
Racionalizando (ou simplificando):. Logo . - Agora
pelo mesmo raciocínio. - Portanto