Questão 27. O valor da expressão E=9 a^{3}-3 a, para a=\left(0,2666 \ldots+\frac{5^{-1} \cdot\left(3^{3}+3^{2} \cdot(-2)^{3}\right)}{(0,333 \ldots)^{-3} \cdot(-5)}\right)^{\frac{1}{2}} é igual a:
a) \sqrt{3}
b) \sqrt{2}
c) \frac{\sqrt{5}}{5}
d) 0

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão E=9a^{3}-3a para
a=\left(0,2666\ldots+\frac{5^{-1}\cdot\left(3^{3}+3^{2}\cdot(-2)^{3}\right)}{(0,333\ldots)^{-3}\cdot(-5)}\right)^{\frac{1}{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • Há dois números em forma decimal periódica: 0,2666\ldots e 0,333\ldots.
  • Aparecem potências inteiras como 3^{3}, 3^{2}, (-2)^{3} e um expoente negativo 5^{-1}.
  • Aparece uma potência negativa em (0,333\ldots)^{-3}.
  • O valor final de a será a raiz quadrada (expoente \tfrac{1}{2}) de uma soma; depois precisamos calcular 9a^{3}-3a.

Passo 2

Converter as decimais periódicas em frações (isso simplifica muuuito as contas).
  • Para 0,2666\ldots (onde só o algarismo 6 se repete): seja x=0,2666\ldots. Então 10x=2,666\ldots. Subtraindo,
10x-x=2,666\ldots-0,2666\ldots \Rightarrow 9x=2{,}4.
Portanto x=\dfrac{2{,}4}{9}. Escrevendo em fração comum: 2{,}4=\dfrac{24}{10}, então
x=\dfrac{24/10}{9}=\dfrac{24}{90}=\dfrac{4}{15}.
Logo 0,2666\ldots=\dfrac{4}{15}.
  • Para 0,333\ldots (repetição do 3): é o clássico 0,333\ldots=\dfrac{1}{3}. Isso pode ser visto por x=0,333\ldots\Rightarrow 10x=3,333\ldots\Rightarrow 9x=3\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}.

Passo 3

Avaliar o numerador interno que aparece multiplicado por 5^{-1}.
Calcule passo a passo:
  • 3^{3}=27.
  • (-2)^{3}=-8.
  • 3^{2}\cdot(-2)^{3}=9\cdot(-8)=-72.
  • Somando: 3^{3}+3^{2}\cdot(-2)^{3}=27+(-72)=-45.
  • E 5^{-1}=\dfrac{1}{5}. Então a parte do numerador vale
5^{-1}\cdot\bigl(3^{3}+3^{2}\cdot(-2)^{3}\bigr)=\dfrac{1}{5}\cdot(-45)=-9.

Passo 4

Avaliar o denominador interno (0,333\ldots)^{-3}\cdot(-5).
  • Usamos 0,333\ldots=\dfrac{1}{3} do passo 2.
  • Para potência negativa: \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-3}=\left(\dfrac{3}{1}\right)^{3}=3^{3}=27. (Lembrete: x^{-n}=\dfrac{1}{x^{n}}, então inverter e elevar.)
  • Multiplicando por -5 27\cdot(-5)=-135.
    Portanto o denominador é -135.

Passo 5

Calcular a fração inteira que aparece dentro de a:
\frac{5^{-1}\cdot\bigl(3^{3}+3^{2}\cdot(-2)^{3}\bigr)}{(0,333\ldots)^{-3}\cdot(-5)}=\frac{-9}{-135}.
Simplificando \dfrac{-9}{-135}=\dfrac{9}{135}. Dividindo numerador e denominador por 9:
\frac{9}{135}=\frac{1}{15}.

Passo 6

Agora substituímos as frações já encontradas dentro de a:
  • Do passo 2 temos 0,2666\ldots=\dfrac{4}{15}.
  • Do passo 5 a fração vale \dfrac{1}{15}.
    Somando dentro da raiz:
\dfrac{4}{15}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}.
Portanto
a=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
(Escolhemos a raiz quadrada principal, positiva, porque a notação (\cdot)^{1/2} usualmente indica a raiz positiva.)

Passo 7

Calcular E=9a^{3}-3a usando a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • Primeiro a^{3}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\dfrac{1}{(\sqrt{3})^{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}} porque (\sqrt{3})^{2}=3 e multiplicando por mais um \sqrt{3} 3\sqrt{3}.
  • Então 9a^{3}=9\cdot\dfrac{1}{3\sqrt{3}}=\dfrac{9}{3\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}.
    Racionalizando (ou simplificando): \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}. Logo 9a^{3}=\sqrt{3}.
  • Agora 3a=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} pelo mesmo raciocínio.
  • Portanto
E=9a^{3}-3a=\sqrt{3}-\sqrt{3}=0.

Resposta

0

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