Questão 23. Qual o maior volume possível para uma caixa com tampa feita com 10 \mathrm{~m}^{2} de material? E sem tampa?

Passo 1

Temos uma caixa retangular de arestas x, y e z. No caso com tampa, toda a superfície (fundo, tampa e quatro faces) soma 10,m ^2. No caso sem tampa, só temos o fundo e as quatro faces totalizando 10,m ^2. Queremos escolher x,y,z>0 que maximizem o volume
V = x \cdot y \cdot z
usando cálculo (método de Lagrange ou simetria) para impor a restrição de área.

Passo 2

Caso com tampa: a área total é
A = 2(xy + xz + yz) = 10 \quad\Longrightarrow\quad xy + xz + yz = 5.
Introduzimos o multiplicador de Lagrange \lambda para maximizar
f(x,y,z)=xyz \quad\text{sujeito a}\quad g(x,y,z)=xy+xz+yz-5=0.

Passo 3

As condições \nabla f = \lambda\,\nabla g dão
(yz,\;xz,\;xy) =\lambda\,(y+z,\;x+z,\;x+y).
Por simetria das equações segue x=y=z=r. Substituindo em xy+xz+yz=5 resulta
3r^2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{5}{3}}.

Passo 4

O volume máximo com tampa é
V_{\text{tampa}} = r^3 = \Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^{\!\frac32} = \frac{5\sqrt{15}}{9}\\ \text{m}^3.

Passo 5

Caso sem tampa: não há uma face, então a área é
A = xy + 2(xz+yz) = 10.
Por simetria esperamos x=y=a. Assim
a^2 + 4\,a\,z = 10 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{10 - a^2}{4a}.
O volume fica
V(a) = a^2\,z = a^2\cdot\frac{10 - a^2}{4a} = \frac{10a - a^3}{4}.

Passo 6

Para maximizar V(a) derivamos em função de a:
V'(a) = \frac{10 - 3a^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad 10 - 3a^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{10}{3} \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{\frac{10}{3}}.
Então
z = \frac{10 - \tfrac{10}{3}}{4\,\sqrt{\tfrac{10}{3}}} = \frac{20/3}{4\sqrt{10/3}} = \frac{\sqrt{30}}{6}.
O volume máximo sem tampa é
V_{\text{sem tampa}} = a^2\,z = \frac{10}{3}\,\frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{5\sqrt{30}}{9}\\ \text{m}^3.

Resposta

Volume máximo com tampa: \displaystyle \frac{5\sqrt{15}}{9}\\ \text{m}^3.
Volume máximo sem tampa: \displaystyle \frac{5\sqrt{30}}{9}\\ \text{m}^3.

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