Questão 23. Qual o maior volume possível para uma caixa com tampa feita com
de material? E sem tampa?
Passo 1
Temos uma caixa retangular de arestas
,
e
. No caso com tampa, toda a superfície (fundo, tampa e quatro faces) soma
,m
. No caso sem tampa, só temos o fundo e as quatro faces totalizando
,m
. Queremos escolher
que maximizem o volume
usando cálculo (método de Lagrange ou simetria) para impor a restrição de área.
Passo 2
Caso com tampa: a área total é
Introduzimos o multiplicador de Lagrange
para maximizar
Passo 3
As condições
dão
Por simetria das equações segue
. Substituindo em
resulta
Passo 4
O volume máximo com tampa é
Passo 5
Caso sem tampa: não há uma face, então a área é
Por simetria esperamos
. Assim
O volume fica
Passo 6
Para maximizar
derivamos em função de
:
Então
O volume máximo sem tampa é
Resposta
Volume máximo com tampa:
.
Volume máximo sem tampa: .
Volume máximo sem tampa: