Questão 24. Encontre os pontos sobre a elipse 4 x^{2}+y^{2}=4 mais próximos e mais distantes de (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar, sobre a elipse
4x^{2}+y^{2}=4,
os pontos que minimizam e quemaximizam a distância até (1,1).
O conteúdo é otimização com restrição: vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar e maximizar a distância ao ponto dado.

Passo 2

Seja a função que queremos otimizar (distância ao quadrado, para evitar raiz):
D(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}.
A restrição é
g(x,y)=4x^{2}+y^{2}-4=0.

Passo 3

Formamos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=D(x,y)-\lambda\,g(x,y)
e impomos
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\quad g(x,y)=0.
Isto dá as equações
2(x-1)-\lambda\,(8x)=0,\quad 2(y-1)-\lambda\,(2y)=0,\quad 4x^{2}+y^{2}=4.

Passo 4

Das duas primeiras equações obtemos
x-1=4\lambda x, \quad y-1=\lambda y.
Da segunda segue \displaystyle \lambda=\frac{y-1}{y}. Substituindo na primeira:
x-1=4x\,\frac{y-1}{y} \quad\Longrightarrow\quad y(x-1)=4x(y-1) \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{4x}{3x+1}.

Passo 5

Substituímos y=4x/(3x+1) na restrição 4x^{2}+y^{2}=4. Isso gera uma equação em x de quarto grau que se resolve numericamente, gerando duas soluções reais relevantes:
x_{1}\approx 0,876,\quad x_{2}\approx -0,197.

Passo 6

Para cada x_{i} calculamos y_{i}=4x_{i}/(3x_{i}+1), obtendo
(x_{1},y_{1})\approx (0,876;0,966), \qquad (x_{2},y_{2})\approx (-0,197;-1,926).
Comparando D(x_{1},y_{1})\approx 0,016 e D(x_{2},y_{2})\approx 9,994, vemos que o primeiro é mínimo e o segundo é máximo.

Resposta

Ponto mais próximo de (1,1): \;(0,876;0,966).
Ponto mais distante de (1,1): \;(-0,197;-1,926).

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