Questão 24. Encontre os pontos sobre a elipse
mais próximos e mais distantes de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar, sobre a elipse
os pontos que minimizam e quemaximizam a distância até
.
O conteúdo é otimização com restrição: vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar e maximizar a distância ao ponto dado.
O conteúdo é otimização com restrição: vamos usar multiplicadores de Lagrange para minimizar e maximizar a distância ao ponto dado.
Passo 2
Seja a função que queremos otimizar (distância ao quadrado, para evitar raiz):
A restrição é
Passo 3
Formamos a Lagrangiana
e impomos
Isto dá as equações
Passo 4
Das duas primeiras equações obtemos
Da segunda segue
. Substituindo na primeira:
Passo 5
Substituímos
na restrição
. Isso gera uma equação em
de quarto grau que se resolve numericamente, gerando duas soluções reais relevantes:
Passo 6
Para cada
calculamos
, obtendo
Comparando
e
, vemos que o primeiro é mínimo e o segundo é máximo.
Resposta
Ponto mais próximo de
:
.
Ponto mais distante de :
.
Ponto mais distante de