Questão 23 Mostre que
\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b \sqrt{2} ; a, b \in \mathbb{Q}\}
é enumerável.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: mostrar que o conjunto \mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2} \; ;\; a,b\in\mathbb{Q}\} é enumerável (contável).
  • Informação dada: a descrição explícita do conjunto como pares de racionais (a,b) combinados na forma a+b\sqrt{2}.
Vou provar que existe uma enumeração (uma lista) dos elementos de \mathbb{Q}[\sqrt{2}], isto é, que se pode colocar os elementos em sequência \,x_1,x_2,x_3,\dots, de forma que toda elemento do conjunto apareça em alguma posição da sequência.

Passo 2

Definição e ideia geral (aula rápida).
  • Definição de enumerável / contável: um conjunto S é enumerável (ou contável) se existe uma função injetora de S em \mathbb{N} (ou equivalentemente uma bijeção entre S e um subconjunto de \mathbb{N}), ou mais intuitivamente se os elementos de S podem ser listados como uma sequência \,s_1,s_2,s_3,\dots onde cada elemento de S aparece pelo menos uma vez. Para conjuntos infinitos dizemos “contável infinito”.
  • Estratégia para o problema: mostrar uma bijeção entre \mathbb{Q}[\sqrt{2}] e \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} (o produto cartesiano dos racionais com os racionais), e então mostrar que \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é enumerável. Como produto de dois conjuntos enumeráveis é enumerável, isso conclui.

Passo 3

Mostrar que \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é enumerável (a parte sobre contar os racionais).
  1. Primeiro, lembrar que \mathbb{N} é enumerável por definição. Mostrar que \mathbb{Z} é enumerável: uma enumeração explícita é
0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots
ou formalmente uma bijeção f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z} dada por
f(0)=0,\qquad f(2k-1)=k,\qquad f(2k)=-k\quad (k\ge 1).
Isso prova que \mathbb{Z} é enumerável.
  1. Agora \mathbb{Z}\times\mathbb{N} é enumerável: pense numa grade infinite de pares (m,n) e percorra-a por diagonais (método de Cantor). Um modo prático é listar pares por ordem crescente de m+n, e para cada soma fixa listar todos os pares com essa soma numa ordem finita. Esse procedimento lista todos os pares (m,n) sem repetir, provando que \mathbb{Z}\times\mathbb{N} é enumerável.
  2. Há uma aplicação natural sobrejetora de \mathbb{Z}\times(\mathbb{N}\setminus\{0\}) em \mathbb{Q}: definir
(p,q)\mapsto \frac{p}{q}.
Como domínio é enumerável e existe uma aplicação sobrejetora para \mathbb{Q}, segue que \mathbb{Q} é enumerável (um sobrejeto de um conjunto enumerável é no máximo enumerável; aqui cada racional aparece possivelmente várias vezes, mas isso não impede enumerabilidade).
  1. Finalmente, produto de dois conjuntos enumeráveis é enumerável. Uma enumeração explícita de \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} pode ser feita assim: enumerar \mathbb{Q}=\{r_1,r_2,r_3,\dots\} e então listar pares na ordem
(r_1,r_1),(r_1,r_2),(r_2,r_1),(r_1,r_3),(r_2,r_2),(r_3,r_1),\dots
novamente por diagonais na matriz (r_i,r_j). Assim \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é enumerável.
(Resumo: \mathbb{N} enumerável \Rightarrow \mathbb{Z} enumerável \Rightarrow \mathbb{Z}\times\mathbb{N} enumerável \Rightarrow \mathbb{Q} enumerável \Rightarrow \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} enumerável.)

Passo 4

Construir a aplicação natural entre \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} e \mathbb{Q}[\sqrt{2}].
Definir a função
\varphi:\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q}[\sqrt{2}],\qquad \varphi(a,b)=a+b\sqrt{2}.
Por definição todo elemento de \mathbb{Q}[\sqrt{2}] tem a forma a+b\sqrt{2} com a,b\in\mathbb{Q}, portanto \varphi é sobrejetora (cada elemento da direita tem pelo menos um pré‑imagem).
Para concluir que \mathbb{Q}[\sqrt{2}] é enumerável é suficiente mostrar que \varphi é injetora ou pelo menos que existe uma bijeção entre \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} e \mathbb{Q}[\sqrt{2}]. Vou provar que \varphi é injetora, logo é bijetora (pois já é sobrejetora).

Passo 5

Provar que \varphi é injetora (a parte essencial: independência linear de 1 e \sqrt{2} sobre \mathbb{Q}).
Suponha que
\varphi(a,b)=\varphi(c,d),
ou seja
a+b\sqrt{2}=c+d\sqrt{2}.
Rearranjando,
(a-c)+(b-d)\sqrt{2}=0.
Chamando r=a-c\in\mathbb{Q} e s=b-d\in\mathbb{Q}, temos
r+s\sqrt{2}=0.
Se s=0 então r=0, logo a=c e b=d. Se s\neq 0, então
\sqrt{2} = -\frac{r}{s}\in\mathbb{Q},
o que é impossível porque \sqrt{2} é irracional (prova clássica: suponha \sqrt{2}=p/q em forma irredutível e obtenha contradição com paridade). Portanto não pode ocorrer s\neq 0. Assim s=0 e r=0, isto é a=c e b=d. Logo \varphi é injetora.
Como \varphi é injetora e sobrejetora, é bijetora, e por consequência existe bijeção entre \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} (enumerável) e \mathbb{Q}[\sqrt{2}].

Passo 6

Conclusão final e motivação prática para prova de exame.
  • Mostramos que \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é enumerável (porque \mathbb{Q} é enumerável e produto de dois enumeráveis é enumerável).
  • Construímos a aplicação natural \varphi(a,b)=a+b\sqrt{2} e provamos que ela é bijetora usando que \sqrt{2} é irracional (ou, dito de outra forma, que 1 e \sqrt{2} são linearmente independentes sobre \mathbb{Q}).
  • Assim \mathbb{Q}[\sqrt{2}] está em bijeção com um conjunto enumerável, logo \mathbb{Q}[\sqrt{2}] é enumerável.
Dica de prova curta para a prova: escreva a bijeção (a,b)\mapsto a+b\sqrt{2}, diga rapidamente que é sobrejetora por definição e injetora porque r+s\sqrt{2}=0\Rightarrow r=s=0 (usar irracionalidade de \sqrt{2}). Termine lembrando que \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} é enumerável.

Resposta

\mathbb{Q}[\sqrt{2}] é enumerável.

Exercícios relacionados