Questão 24. Calcule \operatorname{det}(A) usando uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha.
C=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & -4 & 6 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz dada. A matriz fornecida é
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & -4 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
A tarefa é encontrar \det\text{(C)}.

Passo 2

Vou lembrar a definição útil que vamos usar: expansão por cofatores (também chamada de expansão de Laplace). Para uma matriz n\times n, o menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A expansão ao longo da coluna j é
\det\text{(C)}=\sum_{i=1}^{n} c_{ij}\,C_{ij},
onde c_{ij} são os elementos da matriz. Essa fórmula significa que cada elemento da coluna multiplica seu cofator; se o elemento for zero, sua contribuição some — por isso escolher uma coluna com zeros simplifica bastante o cálculo.

Passo 3

Olho a matriz e vejo que a segunda coluna tem dois zeros, o que torna a expansão por essa coluna conveniente. Os elementos da segunda coluna são
c_{12}=0,\quad c_{22}=0,\quad c_{32}=2,\quad c_{42}=-4.
Pela fórmula da expansão ao longo da coluna 2,
\det\text{(C)}=c_{12}C_{12}+c_{22}C_{22}+c_{32}C_{32}+c_{42}C_{42}.
Como c_{12}=0 e c_{22}=0, só precisamos calcular as contribuições de i=3 e i=4:
\det\text{(C)}=c_{32}C_{32}+c_{42}C_{42}.

Passo 4

Calcular M_{32}: eliminar a linha 3 e a coluna 2 da matriz C. O menor M_{32} é o determinante da matriz 3\times3
M_{32}=\det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix}.
Para um 3\times3 com linhas (a,b,c),(d,e,f),(g,h,i) vale a fórmula
\det = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando aqui, com a=1,b=3,c=1,d=-1,e=1,f=0,g=2,h=6,i=1:
\begin{aligned} M_{32} &=1\cdot(1\cdot1-0\cdot6)-3\cdot((-1)\cdot1-0\cdot2)+1\cdot((-1)\cdot6-1\cdot2)\\\ &=1\cdot(1)-3\cdot(-1)+1\cdot(-6-2)\\\ &=1+3+(-8)\\\ &=-4. \end{aligned}

Passo 5

Calcular o cofator C_{32}. O fator de sinal é (-1)^{3+2}=(-1)^5=-1. Assim
C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot(-4)=4.
A contribuição de i=3 para o determinante é
c_{32}C_{32}=2\cdot 4=8.

Passo 6

Agora calcular M_{42}: eliminar a linha 4 e a coluna 2. O menor é
M_{42}=\det\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -6 & -2 \end{pmatrix}.
Usando a mesma fórmula do 3\times3 com a=1,b=3,c=1,d=-1,e=1,f=0,g=0,h=-6,i=-2:
\begin{aligned} M_{42} &=1\cdot(1\cdot(-2)-0\cdot(-6))-3\cdot((-1)\cdot(-2)-0\cdot0)+1\cdot((-1)\cdot(-6)-1\cdot0)\\\ &=1\cdot(-2)-3\cdot(2)+1\cdot(6)\\\ &=-2-6+6\\\ &=-2. \end{aligned}

Passo 7

Calcular o cofator C_{42}. O fator de sinal é (-1)^{4+2}=(-1)^6=1. Assim
C_{42}=1\cdot M_{42}=-2.
A contribuição de i=4 para o determinante é
c_{42}C_{42}=(-4)\cdot(-2)=8.

Passo 8

Somar as contribuições obtidas:
\det\text{(C)}=8+8=16.

Resposta

\det\text{(C)}=16

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