Questão 24. Calcule \operatorname{det}(A) usando uma expansão em cofatores ao longo de uma linha ou coluna de sua escolha. C=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 3 & 1 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -6 & -2 \\\\ 2 & -4 & 6 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz dada. A matriz fornecida é
Vou lembrar a definição útil que vamos usar: expansão por cofatores (também chamada de expansão de Laplace). Para uma matriz n\times n, o menor M_{ij} é o determinante da matriz obtida ao eliminar a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A expansão ao longo da coluna j é
\det\text{(C)}=\sum_{i=1}^{n} c_{ij}\,C_{ij},
onde c_{ij} são os elementos da matriz. Essa fórmula significa que cada elemento da coluna multiplica seu cofator; se o elemento for zero, sua contribuição some — por isso escolher uma coluna com zeros simplifica bastante o cálculo.
Passo 3
Olho a matriz e vejo que a segunda coluna tem dois zeros, o que torna a expansão por essa coluna conveniente. Os elementos da segunda coluna são